Theorem gcdmultipled 16580

Description: The greatest common divisor of a nonnegative integer 𝑀 and a multiple of it is 𝑀 itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdmultipled.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
gcdmultipled.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultipled	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultipled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultipled.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		gcdmultipled.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12604	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		0zd 12591	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5		gcdaddm 16571	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
7		nn0gcdid0 16567	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
9	1, 3	zmulcld 12694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11	10	addlidd 11399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑁 · 𝑀)) = (𝑁 · 𝑀))
12	11	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)))
13	6, 8, 12	3eqtr3rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579   gcd cgcd 16540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-gcd 16541

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  16581  dvdsgcdidd  16583  unitscyglem2  42820  unitscyglem4  42822