MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdmultipled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdmultipled 16575
Description: The greatest common divisor of a nonnegative integer 𝑀 and a multiple of it is 𝑀 itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdmultipled.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
gcdmultipled.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
gcdmultipled (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultipled
StepHypRef Expression
1 gcdmultipled.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2 gcdmultipled.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12661 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 0zd 12647 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5 gcdaddm 16565 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
61, 3, 4, 5syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))))
7 nn0gcdid0 16561 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
82, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
91, 3zmulcld 12749 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
109zcnd 12744 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
1110addlidd 11487 . . 3 (𝜑 → (0 + (𝑁 · 𝑀)) = (𝑁 · 𝑀))
1211oveq2d 7461 . 2 (𝜑 → (𝑀 gcd (0 + (𝑁 · 𝑀))) = (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)))
136, 8, 123eqtr3rd 2783 1 (𝜑 → (𝑀 gcd (𝑁 · 𝑀)) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  (class class class)co 7445  0cc0 11180   + caddc 11183   · cmul 11185  0cn0 12549  cz 12635   gcd cgcd 16534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-gcd 16535
This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  16576  dvdsgcdidd  16578  unitscyglem2  42101  unitscyglem4  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator