Theorem gcdaddm 16525

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdaddm	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))
3	2	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)))
4	3	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))))
5		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
7		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
8	7	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))
9	6, 8	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)))
10	5, 9	eqeq12d 2742	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))))
11		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
12		oveq2 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
13	12	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0))))
14	11, 13	eqeq12d 2742	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))))
15		0z 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16	15	elimel 4602	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
17	15	elimel 4602	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
18	15	elimel 4602	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) ∈ ℤ
19	16, 17, 18	gcdaddmlem 16524	. . 3 ⊢ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
20	4, 10, 14, 19	dedth3h 4593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
21		zcn 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22		zcn 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23		mulcl 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
25		zcn 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
26		addcom 11450	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
27	24, 25, 26	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
28	27	3impa 1107	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
29	28	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
30	20, 29	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4533  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  0cc0 11158   + caddc 11161   · cmul 11163  ℤcz 12610   gcd cgcd 16494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495

This theorem is referenced by:  gcdadd  16526  gcdid  16527  modgcd  16533  gcdmultipled  16535  pythagtriplem4  16821  gcdi  17075  pgpfac1lem2  20075  gcdaddmzz2nni  41693  lcmineqlem19  41746