MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddm 15862
Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀))
21oveq1d 7155 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))
32oveq2d 7156 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)))
43eqeq2d 2833 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))))
5 oveq1 7147 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁))
6 id 22 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
7 oveq2 7148 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
87oveq1d 7155 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))
96, 8oveq12d 7158 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)))
105, 9eqeq12d 2838 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))))
11 oveq2 7148 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
12 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
1312oveq2d 7156 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0))))
1411, 13eqeq12d 2838 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))))
15 0z 11980 . . . . 5 0 ∈ ℤ
1615elimel 4506 . . . 4 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
1715elimel 4506 . . . 4 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
1815elimel 4506 . . . 4 if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) ∈ ℤ
1916, 17, 18gcdaddmlem 15861 . . 3 (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
204, 10, 14, 19dedth3h 4497 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
21 zcn 11974 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22 zcn 11974 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23 mulcl 10610 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
2421, 22, 23syl2an 598 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
25 zcn 11974 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
26 addcom 10815 . . . . 5 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
2724, 25, 26syl2an 598 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
28273impa 1107 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
2928oveq2d 7156 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
3020, 29eqtrd 2857 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  ifcif 4439  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  cz 11969   gcd cgcd 15832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833
This theorem is referenced by:  gcdadd  15863  gcdid  15864  modgcd  15869  gcdmultipled  15871  gcdmultipleOLD  15889  pythagtriplem4  16145  gcdi  16398  pgpfac1lem2  19188  gcdaddmzz2nni  39244  lcmineqlem19  39297
  Copyright terms: Public domain W3C validator