Theorem gcdaddm 15863

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdaddm	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))
3	2	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)))
4	3	eqeq2d 2809	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))))
5		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
7		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
8	7	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))
9	6, 8	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)))
10	5, 9	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))))
11		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
12		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
13	12	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0))))
14	11, 13	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))))
15		0z 11980	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16	15	elimel 4492	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
17	15	elimel 4492	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
18	15	elimel 4492	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) ∈ ℤ
19	16, 17, 18	gcdaddmlem 15862	. . 3 ⊢ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
20	4, 10, 14, 19	dedth3h 4483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
21		zcn 11974	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22		zcn 11974	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23		mulcl 10610	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	syl2an 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
25		zcn 11974	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
26		addcom 10815	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
27	24, 25, 26	syl2an 598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
28	27	3impa 1107	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
29	28	oveq2d 7151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
30	20, 29	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  ℤcz 11969   gcd cgcd 15833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834

This theorem is referenced by:  gcdadd  15864  gcdid  15865  modgcd  15870  gcdmultipled  15872  gcdmultipleOLD  15890  pythagtriplem4  16146  gcdi  16399  pgpfac1lem2  19190  gcdaddmzz2nni  39282  lcmineqlem19  39335