Theorem gcdaddm 16542

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdaddm	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))
3	2	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)))
4	3	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁))))
5		oveq1 7399	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
7		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
8	7	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))
9	6, 8	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)))
10	5, 9	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · 𝑀) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁))))
11		oveq2 7400	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
12		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁) = ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
13	12	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0))))
14	11, 13	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) → ((if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd 𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + 𝑁)) ↔ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))))
15		0z 12576	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16	15	elimel 4549	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
17	15	elimel 4549	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
18	15	elimel 4549	. . . 4 ⊢ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0) ∈ ℤ
19	16, 17, 18	gcdaddmlem 16541	. . 3 ⊢ (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) gcd ((if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) + if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 0)))
20	4, 10, 14, 19	dedth3h 4540	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
21		zcn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22		zcn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23		mulcl 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
25		zcn 12570	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
26		addcom 11366	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
27	24, 25, 26	syl2an 605	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
28	27	3impa 1121	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
29	28	oveq2d 7408	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
30	20, 29	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   + caddc 11073   · cmul 11075  ℤcz 12565   gcd cgcd 16511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512

This theorem is referenced by:  gcdadd  16543  gcdid  16544  modgcd  16549  gcdmultipled  16551  pythagtriplem4  16838  gcdi  17092  pgpfac1lem2  20100  gcdaddmzz2nni  42575  lcmineqlem19  42628