MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddm 16466
Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€))
21oveq1d 7424 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘))
32oveq2d 7425 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)))
43eqeq2d 2744 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘))))
5 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘))
6 id 22 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0))
7 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)))
87oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘))
96, 8oveq12d 7427 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)))
105, 9eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)) โ†” (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘))))
11 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
12 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
1312oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0))))
1411, 13eqeq12d 2749 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ ((if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)) โ†” (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))))
15 0z 12569 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
1615elimel 4598 . . . 4 if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โˆˆ โ„ค
1715elimel 4598 . . . 4 if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โˆˆ โ„ค
1815elimel 4598 . . . 4 if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โˆˆ โ„ค
1916, 17, 18gcdaddmlem 16465 . . 3 (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
204, 10, 14, 19dedth3h 4589 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)))
21 zcn 12563 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
22 zcn 12563 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
23 mulcl 11194 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2421, 22, 23syl2an 597 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
25 zcn 12563 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
26 addcom 11400 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
2724, 25, 26syl2an 597 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
28273impa 1111 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
2928oveq2d 7425 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))
3020, 29eqtrd 2773 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558   gcd cgcd 16435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436
This theorem is referenced by:  gcdadd  16467  gcdid  16468  modgcd  16474  gcdmultipled  16476  pythagtriplem4  16752  gcdi  17006  pgpfac1lem2  19945  gcdaddmzz2nni  40860  lcmineqlem19  40912
  Copyright terms: Public domain W3C validator