MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdaddm 16470
Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€))
21oveq1d 7426 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘))
32oveq2d 7427 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)))
43eqeq2d 2741 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘))))
5 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘))
6 id 22 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0))
7 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)))
87oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘))
96, 8oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)))
105, 9eqeq12d 2746 . . 3 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท ๐‘€) + ๐‘)) โ†” (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘))))
11 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
12 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘) = ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
1312oveq2d 7427 . . . 4 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0))))
1411, 13eqeq12d 2746 . . 3 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โ†’ ((if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ๐‘) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + ๐‘)) โ†” (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))))
15 0z 12573 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
1615elimel 4596 . . . 4 if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โˆˆ โ„ค
1715elimel 4596 . . . 4 if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) โˆˆ โ„ค
1815elimel 4596 . . . 4 if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0) โˆˆ โ„ค
1916, 17, 18gcdaddmlem 16469 . . 3 (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)) = (if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0) gcd ((if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 0)) + if(๐‘ โˆˆ โ„ค, ๐‘, 0)))
204, 10, 14, 19dedth3h 4587 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)))
21 zcn 12567 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
22 zcn 12567 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
23 mulcl 11196 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2421, 22, 23syl2an 594 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
25 zcn 12567 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
26 addcom 11404 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
2724, 25, 26syl2an 594 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
28273impa 1108 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘) = (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€)))
2928oveq2d 7427 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ((๐พ ยท ๐‘€) + ๐‘)) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))
3020, 29eqtrd 2770 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (๐‘€ gcd (๐‘ + (๐พ ยท ๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  ifcif 4527  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562   gcd cgcd 16439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440
This theorem is referenced by:  gcdadd  16471  gcdid  16472  modgcd  16478  gcdmultipled  16480  pythagtriplem4  16756  gcdi  17010  pgpfac1lem2  19986  gcdaddmzz2nni  41166  lcmineqlem19  41218
  Copyright terms: Public domain W3C validator