Theorem gsumfsupp 48804

Description: A group sum of a family can be restricted to the support of that family without changing its value, provided that that support is finite. This corresponds to the definition of an (infinite) product in [Lang] p. 5, last two formulas. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumfsupp.s	⊢ 𝐼 = (𝐹 supp 0 )
gsumfsupp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfsupp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumfsupp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumfsupp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐼)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumfsupp.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumfsupp.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumfsupp.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumfsupp.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumfsupp.s	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐹 supp 0 )
7	6	eqimss2i 3997	. . 3 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐼
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
9		gsumfsupp.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9	gsumres 19953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐼)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   supp csupp 8140   finSupp cfsupp 9307  Basecbs 17245  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  CMndccmn 19820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-cntz 19357  df-cmn 19822

This theorem is referenced by: (None)