Theorem gsumfsupp 48143

Description: A group sum of a family can be restricted to the support of that family without changing its value, provided that that support is finite. This corresponds to the definition of an (infinite) product in [Lang] p. 5, last two formulas. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumfsupp.s	⊢ 𝐼 = (𝐹 supp 0 )
gsumfsupp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfsupp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumfsupp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumfsupp.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐼)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumfsupp.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumfsupp.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumfsupp.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumfsupp.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumfsupp.s	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐹 supp 0 )
7	6	eqimss2i 4005	. . 3 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐼
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
9		gsumfsupp.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9	gsumres 19819	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐼)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   supp csupp 8116   finSupp cfsupp 9288  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  CMndccmn 19686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-cntz 19225  df-cmn 19688

This theorem is referenced by: (None)