Theorem hash1to3 14647

Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash1to3	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14510	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
2		nn01to3 13078	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
4		hash1snb 14574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
5	4	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6		3mix1 1349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
7	6	2eximi 1868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8	7	19.23bi 2230	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9	8	19.23bi 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
10	9	eximi 1867	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13		hash2pr 14624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14		3mix2 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
15	14	eximi 1867	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
16	15	19.23bi 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17	16	2eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
18	13, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
19	18	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20		hash3tr 14646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21		3mix3 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
22	21	eximi 1867	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23	22	2eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
24	20, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
25	24	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
26	12, 19, 25	3jaoi 1454	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
27	26	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28	27	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
29	3, 28	mpd 16	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  Fincfn 8984  1c1 11211   ≤ cle 11354  2c2 12407  3c3 12408  ℕ₀cn0 12616  ♯chash 14484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-3o 8489  df-oadd 8491  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-hash 14485

This theorem is used by:  friendship  31012