Theorem hash1to3 14402

Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash1to3	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14266	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
2		nn01to3 12875	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
4		hash1snb 14329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
5	4	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6		3mix1 1330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
7	6	2eximi 1838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8	7	19.23bi 2184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9	8	19.23bi 2184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
10	9	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13		hash2pr 14380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14		3mix2 1331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
15	14	eximi 1837	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
16	15	19.23bi 2184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17	16	2eximi 1838	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
18	13, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
19	18	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20		hash3tr 14401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21		3mix3 1332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
22	21	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23	22	2eximi 1838	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
24	20, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
25	24	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
26	12, 19, 25	3jaoi 1427	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
27	26	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28	27	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
29	3, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  Fincfn 8890  1c1 11061   ≤ cle 11199  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12422  ♯chash 14240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-3o 8419  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-hash 14241

This theorem is referenced by:  friendship  29406