Theorem hash1to3 14205

Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash1to3	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14071	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
2		nn01to3 12681	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3	1, 2	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
4		hash1snb 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
5	4	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6		3mix1 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
7	6	2eximi 1838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8	7	19.23bi 2184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9	8	19.23bi 2184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
10	9	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13		hash2pr 14183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14		3mix2 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
15	14	eximi 1837	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
16	15	19.23bi 2184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17	16	2eximi 1838	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
18	13, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
19	18	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20		hash3tr 14204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21		3mix3 1331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
22	21	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23	22	2eximi 1838	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
24	20, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
25	24	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
26	12, 19, 25	3jaoi 1426	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
27	26	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28	27	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
29	3, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {csn 4561  {cpr 4563  {ctp 4565   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  1c1 10872   ≤ cle 11010  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-3o 8299  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  friendship  28763