Theorem hash1to3 14505

Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash1to3	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14369	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
2		nn01to3 12942	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3	1, 2	syl3an1 1176	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
4		hash1snb 14432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
5	4	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6		3mix1 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
7	6	2eximi 1856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8	7	19.23bi 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9	8	19.23bi 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
10	9	eximi 1855	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	expcom 417	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13		hash2pr 14482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14		3mix2 1345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
15	14	eximi 1855	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
16	15	19.23bi 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17	16	2eximi 1856	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
18	13, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
19	18	expcom 417	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20		hash3tr 14504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21		3mix3 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
22	21	eximi 1855	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23	22	2eximi 1856	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
24	20, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
25	24	expcom 417	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
26	12, 19, 25	3jaoi 1447	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
27	26	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28	27	3ad2ant1 1146	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 2 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
29	3, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1097   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Fincfn 8927  1c1 11074   ≤ cle 11217  2c2 12272  3c3 12273  ℕ₀cn0 12481  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-3o 8439  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  friendship  30601