Theorem hash3tpexb 14497

Description: A set of size three is an unordered triple if and only if it contains three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpexb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpde 14496	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2	1	ex 415	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
3		fveq2 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}))
4		df-tp 4581	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐}))
6	5	fveq2d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})))
7		prfi 9257	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
8		snfi 9013	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
9		disjprsn 4667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
10	9	3adant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
11		hashun 14385	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ {𝑐} ∈ Fin ∧ ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
12	7, 8, 10, 11	mp3an12i 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
13		hashprg 14398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
14	13	el2v 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
15	14	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
16	15	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
17		hashsng 14372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ V → (♯‘{𝑐}) = 1)
18	17	elv 3453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑐}) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑐}) = 1)
20	16, 19	oveq12d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = (2 + 1))
21		2p1e3 12349	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
22	20, 21	eqtrdi 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = 3)
23	6, 12, 22	3eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = 3)
24	3, 23	sylan9eqr 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
26	25	exlimdv 1947	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
27	26	exlimdvv 1948	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
28	2, 27	impbid 214	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554  ∃wex 1793   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  Vcvv 3448   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4280  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  1c1 11064   + caddc 11066  2c2 12262  3c3 12263  ♯chash 14333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-3o 8427  df-oadd 8429  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-hash 14334

This theorem is referenced by:  hash3tpb  14498