Theorem hash3tpexb 14393

Description: A set of size three is an unordered triple if and only if it contains three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpexb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpde 14392	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
3		fveq2 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}))
4		df-tp 4579	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐}))
6	5	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})))
7		prfi 9203	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
8		snfi 8960	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
9		disjprsn 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
10	9	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
11		hashun 14281	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ {𝑐} ∈ Fin ∧ ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
12	7, 8, 10, 11	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
13		hashprg 14294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
14	13	el2v 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
17		hashsng 14268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ V → (♯‘{𝑐}) = 1)
18	17	elv 3439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑐}) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑐}) = 1)
20	16, 19	oveq12d 7359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = (2 + 1))
21		2p1e3 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
22	20, 21	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = 3)
23	6, 12, 22	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = 3)
24	3, 23	sylan9eqr 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
26	25	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
27	26	exlimdvv 1935	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
28	2, 27	impbid 212	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  Vcvv 3434   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899  ∅c0 4281  {csn 4574  {cpr 4576  {ctp 4578  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  1c1 10999   + caddc 11001  2c2 12172  3c3 12173  ♯chash 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-3o 8382  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230

This theorem is referenced by:  hash3tpb  14394