Theorem hash3tpexb 14421

Description: A set of size three is an unordered triple if and only if it contains three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpexb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpde 14420	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
3		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}))
4		df-tp 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐}))
6	5	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})))
7		prfi 9228	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
8		snfi 8984	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
9		disjprsn 4672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
10	9	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
11		hashun 14309	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ {𝑐} ∈ Fin ∧ ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
12	7, 8, 10, 11	mp3an12i 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
13		hashprg 14322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
14	13	el2v 3448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
17		hashsng 14296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ V → (♯‘{𝑐}) = 1)
18	17	elv 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑐}) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑐}) = 1)
20	16, 19	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = (2 + 1))
21		2p1e3 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
22	20, 21	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = 3)
23	6, 12, 22	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = 3)
24	3, 23	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
26	25	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
27	26	exlimdvv 1936	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
28	2, 27	impbid 212	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4286  {csn 4581  {cpr 4583  {ctp 4585  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  1c1 11031   + caddc 11033  2c2 12204  3c3 12205  ♯chash 14257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-3o 8401  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-hash 14258

This theorem is referenced by:  hash3tpb  14422