Theorem hash3tpexb 14419

Description: A set of size three is an unordered triple if and only if it contains three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpexb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpde 14418	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
3		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}))
4		df-tp 4584	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐}))
6	5	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})))
7		prfi 9232	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
8		snfi 8975	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
9		disjprsn 4668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
10	9	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
11		hashun 14307	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ {𝑐} ∈ Fin ∧ ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
12	7, 8, 10, 11	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
13		hashprg 14320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
14	13	el2v 3445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
17		hashsng 14294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ V → (♯‘{𝑐}) = 1)
18	17	elv 3443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑐}) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑐}) = 1)
20	16, 19	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = (2 + 1))
21		2p1e3 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = 3)
23	6, 12, 22	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = 3)
24	3, 23	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
26	25	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
27	26	exlimdvv 1934	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
28	2, 27	impbid 212	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  {ctp 4583  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  1c1 11029   + caddc 11031  2c2 12201  3c3 12202  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-3o 8397  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  hash3tpb  14420