Theorem hash3tpexb 14411

Description: A set of size three is an unordered triple if and only if it contains three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpexb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpde 14410	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
3		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}))
4		df-tp 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = ({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐}))
6	5	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})))
7		prfi 9218	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ Fin
8		snfi 8975	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
9		disjprsn 4668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
10	9	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅)
11		hashun 14299	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ {𝑐} ∈ Fin ∧ ({𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐}) = ∅) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
12	7, 8, 10, 11	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘({𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐})) = ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})))
13		hashprg 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
14	13	el2v 3445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
17		hashsng 14286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ V → (♯‘{𝑐}) = 1)
18	17	elv 3443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑐}) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑐}) = 1)
20	16, 19	oveq12d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = (2 + 1))
21		2p1e3 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
22	20, 21	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((♯‘{𝑎, 𝑏}) + (♯‘{𝑐})) = 3)
23	6, 12, 22	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (♯‘{𝑎, 𝑏, 𝑐}) = 3)
24	3, 23	sylan9eqr 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3)
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
26	25	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
27	26	exlimdvv 1935	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (♯‘𝑉) = 3))
28	2, 27	impbid 212	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4284  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8878  1c1 11017   + caddc 11019  2c2 12190  3c3 12191  ♯chash 14247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-3o 8396  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248

This theorem is referenced by:  hash3tpb  14412