Theorem grtriprop 48629

Description: The properties of a triangle. (Contributed by AV, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grtri.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grtri.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grtriprop	⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem grtriprop

Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6917	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		grtri.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		grtri.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	grtri 48628	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (GrTriangles‘𝐺) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))})
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (GrTriangles‘𝐺) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))})
6	5	eleq2d 2855	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ 𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))}))
7		f1oeq3 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ↔ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇))
8	7	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))))
9	8	exbidv 1948	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ↔ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))))
10	9	elrab 3659	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑡 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))} ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))))
11	6, 10	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)))))
12		ovexd 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → (0..^3) ∈ V)
13		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
14	12, 13	hasheqf1od 14389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
15		eqcom 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (♯‘𝑇) = (♯‘(0..^3)))
16		3nn0 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		hashfzo0 14467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
18	16, 17	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → (♯‘(0..^3)) = 3)
19	18	eqeq2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘𝑇) = (♯‘(0..^3)) ↔ (♯‘𝑇) = 3))
20	15, 19	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (♯‘𝑇) = 3))
21		hash3tpb 14532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑇) = 3 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘𝑇) = 3 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
23	22	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
24		elpwi 4574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
25		ss2rexv 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
26		ssrexv 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑉 → (∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
27	26	reximdv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑉 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
28	27	reximdv 3186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
29	25, 28	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
30	24, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})))
33		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})) → 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
34		simp-5r 797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})) → (♯‘𝑇) = 3)
35		f1oeq3 6811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
36		grtriproplem 48627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
37	36	2a1d 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
38	37	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
39	38	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((♯‘𝑇) = 3 → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))))
40	35, 39	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ((♯‘𝑇) = 3 → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))))
41	40	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘𝑇) = 3 → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))))
42	41	imp4c 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑉 → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
43	42	imp4c 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
44	43	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
45	44	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
46	33, 34, 45	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})) → (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
47	46	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
48	47	reximdva 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
49	48	reximdvva 3219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
50	49	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
51	50	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
52	32, 51	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
53	23, 52	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
54	53	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘𝑇) = 3 → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
55	20, 54	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))))
56	14, 55	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
57	56	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
58	57	exlimdv 1960	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
59	58	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
60	11, 59	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))))
61	60	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  {cpr 4596  {ctp 4598  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12504  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  Edgcedg 29338  GrTrianglescgrtri 48625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-3o 8455  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-grtri 48626

This theorem is referenced by:  grtrif1o  48630  isgrtri  48631  grtrissvtx  48632  grimgrtri  48637  grlimgrtri  48691