Theorem hashnexinj 42085

Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnexinj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashnexinj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
hashnexinj.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashnexinj	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashnexinj

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnexinj.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		hashnexinj.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
3		hashnexinj.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		hashcl 14405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7		hashnexinj.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashcl 14405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
12	2, 11	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
13		hashdom 14428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	7, 3, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
15	14	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
18		brdomg 9016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
19	18	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
20	19	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
22	17, 21	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
23		alnex 1779	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
24	22, 23	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
25	3, 7, 1	elmapdd 8899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
26		f1eq1 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
27	26	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
28	27	spcgv 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
30	24, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
31		dff13 7292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
32		iman 401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
33		df-ne 2947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	anbi2i 622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
35	32, 34	xchbinxr 335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
36	35	2ralbii 3134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
37		ralnex2 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
39	38	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
40	31, 39	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
42	41	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
43	42	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
44	30, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
45	1, 44	mpnanrd 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
46	45	notnotrd 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashnexinjle  42086