Theorem hashnexinj 42979

Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnexinj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashnexinj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
hashnexinj.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashnexinj	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem hashnexinj

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnexinj.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		hashnexinj.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
3		hashnexinj.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		hashcl 14420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7		hashnexinj.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashcl 14420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
12	2, 11	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
13		hashdom 14443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	7, 3, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
15	14	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
18		brdomg 8967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
19	18	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
20	19	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
21	3, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
22	17, 21	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
23		alnex 1814	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
24	22, 23	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
25	3, 7, 1	elmapdd 8843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
26		f1eq1 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
27	26	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
28	27	spcgv 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
29	25, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
30	24, 29	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
31		dff13 7254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
32		iman 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
33		df-ne 2958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
35	32, 34	xchbinxr 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
36	35	2ralbii 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
37		ralnex2 3144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
38	36, 37	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
39	38	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
40	31, 39	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
42	41	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
43	42	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
44	30, 43	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
45	1, 44	mpnanrd 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
46	45	notnotrd 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829   ≼ cdom 8953  Fincfn 8955   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕ₀cn0 12529  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  hashnexinjle  42980