Theorem hashnexinj 42321

Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnexinj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashnexinj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
hashnexinj.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashnexinj	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashnexinj

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnexinj.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		hashnexinj.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
3		hashnexinj.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		hashcl 14277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7		hashnexinj.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashcl 14277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
12	2, 11	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
13		hashdom 14300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	7, 3, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
15	14	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
18		brdomg 8893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
19	18	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
20	19	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
22	17, 21	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
23		alnex 1782	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
24	22, 23	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
25	3, 7, 1	elmapdd 8776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
26		f1eq1 6723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
27	26	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
28	27	spcgv 3548	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
30	24, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
31		dff13 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
32		iman 401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
33		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
35	32, 34	xchbinxr 335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
36	35	2ralbii 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
37		ralnex2 3114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
38	36, 37	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
39	38	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
40	31, 39	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
42	41	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
43	42	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
44	30, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
45	1, 44	mpnanrd 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
46	45	notnotrd 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761   ≼ cdom 8879  Fincfn 8881   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  hashnexinjle  42322