Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnexinj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnexinj 42109
Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnexinj.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hashnexinj.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
hashnexinj.3 (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinj.4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashnexinj (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashnexinj
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnexinj.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 hashnexinj.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
3 hashnexinj.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 hashcl 14391 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7 hashnexinj.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 hashcl 14391 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
109nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
116, 10ltnled 11405 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
122, 11mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
13 hashdom 14414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
147, 3, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
1514notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1615biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ¬ 𝐴𝐵))
1712, 16mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐵)
18 brdomg 8995 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1918notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
2019biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
213, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
2217, 21mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
23 alnex 1777 . . . . . 6 (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
2422, 23sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴1-1𝐵)
253, 7, 1elmapdd 8879 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m 𝐴))
26 f1eq1 6799 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
2726notbid 318 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵))
2827spcgv 3595 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝐴) → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴1-1𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵))
2925, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴1-1𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵))
3024, 29mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵)
31 dff13 7274 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
32 iman 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
33 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
3433anbi2i 623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
3532, 34xchbinxr 335 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
36352ralbii 3125 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
37 ralnex2 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
3836, 37bitri 275 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
3938anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)))
4031, 39bitri 275 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)))
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))))
4241notbid 318 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ ¬ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))))
4342biimpd 229 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴1-1𝐵 → ¬ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))))
4430, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦)))
451, 44mpnanrd 409 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
4645notnotrd 133 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  wf 6558  1-1wf1 6559  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  cdom 8981  Fincfn 8983   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  hashnexinjle  42110
  Copyright terms: Public domain W3C validator