Theorem hashnexinj 42628

Description: If the number of elements of the domain are greater than the number of elements in a codomain, then there are two different values that map to the same. (Contributed by metakunt, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnexinj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hashnexinj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
hashnexinj.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
hashnexinj.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashnexinj	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashnexinj

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnexinj.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		hashnexinj.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) < (♯‘𝐴))
3		hashnexinj.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		hashcl 14313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7		hashnexinj.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		hashcl 14313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
11	6, 10	ltnled 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) < (♯‘𝐴) ↔ ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵)))
12	2, 11	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
13		hashdom 14336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	7, 3, 13	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
15	14	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
18		brdomg 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
19	18	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
20	19	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
22	17, 21	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
23		alnex 1789	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
24	22, 23	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
25	3, 7, 1	elmapdd 8782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
26		f1eq1 6722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
27	26	notbid 320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
28	27	spcgv 3536	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
29	25, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ¬ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
30	24, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
31		dff13 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
32		iman 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
33		df-ne 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
34	33	anbi2i 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
35	32, 34	xchbinxr 337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
36	35	2ralbii 3116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
37		ralnex2 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
38	36, 37	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
39	38	anbi2i 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
40	31, 39	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
42	41	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
43	42	biimpd 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))))
44	30, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)))
45	1, 44	mpnanrd 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
46	45	notnotrd 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397  ∀wal 1546   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕ₀cn0 12432  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  hashnexinjle  42629