Theorem hashun2 14390

Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashun2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif2 4428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	fveq2i 6865	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
3		diffi 9137	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
4		disjdif 4423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
5		hashun 14389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
6	4, 5	mp3an3 1470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
7	3, 6	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
8	2, 7	eqtr3id 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
9	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
10		hashcl 14363	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
13		hashcl 14363	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
16		hashcl 14363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
19		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
20		difss 4087	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
21		ssdomg 8975	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
22	19, 20, 21	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵)
23		hashdom 14386	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
24	9, 23	sylancom 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
25	22, 24	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵))
26	12, 15, 18, 25	leadd2dd 11796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
27	8, 26	eqbrtrd 5119	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ≼ cdom 8919  Fincfn 8921   + caddc 11070   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  ♯chash 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338

This theorem is referenced by:  hashunlei  14432  hashfun  14444  prmreclem4  16946  fta1glem2  26217  fta1lem  26359  vieta1lem2  26363