MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun2 14290
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 4441 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6850 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
3 diffi 9130 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
4 disjdif 4436 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
5 hashun 14289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
64, 5mp3an3 1451 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
73, 6sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
82, 7eqtr3id 2791 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
93adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
10 hashcl 14263 . . . . 5 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12481 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
13 hashcl 14263 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12481 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
16 hashcl 14263 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1716adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0red 12481 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
19 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
20 difss 4096 . . . . 5 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
21 ssdomg 8947 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2219, 20, 21mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵)
23 hashdom 14286 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
249, 23sylancom 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2522, 24mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵))
2612, 15, 18, 25leadd2dd 11777 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
278, 26eqbrtrd 5132 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cdom 8888  Fincfn 8890   + caddc 11061  cle 11197  0cn0 12420  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashunlei  14332  hashfun  14344  prmreclem4  16798  fta1glem2  25547  fta1lem  25683  vieta1lem2  25687
  Copyright terms: Public domain W3C validator