Theorem hashun2 14415

Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashun2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif2 4438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
3		diffi 9155	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
4		disjdif 4433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
5		hashun 14414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
6	4, 5	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
7	3, 6	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
8	2, 7	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
9	3	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin)
10		hashcl 14388	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
13		hashcl 14388	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
16		hashcl 14388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
19		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
20		difss 4090	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵
21		ssdomg 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
22	19, 20, 21	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵)
23		hashdom 14411	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
24	9, 23	sylancom 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) ≼ 𝐵))
25	22, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴)) ≤ (♯‘𝐵))
26	12, 15, 18, 25	leadd2dd 11824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵 ∖ 𝐴))) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
27	8, 26	eqbrtrd 5133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≼ cdom 8937  Fincfn 8939   + caddc 11098   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  hashunlei  14458  hashfun  14470  prmreclem4  16974  fta1glem2  26326  fta1lem  26468  vieta1lem2  26472