Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun2 13743
 Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 4383 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6649 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (♯‘(𝐴𝐵))
3 diffi 8737 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
4 disjdif 4379 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
5 hashun 13742 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
64, 5mp3an3 1447 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
73, 6sylan2 595 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
82, 7syl5eqr 2847 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))))
93adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
10 hashcl 13716 . . . . 5 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11947 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
13 hashcl 13716 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11947 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
16 hashcl 13716 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11947 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
19 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
20 difss 4059 . . . . 5 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
21 ssdomg 8541 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2219, 20, 21mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵)
23 hashdom 13739 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
249, 23sylancom 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2522, 24mpbird 260 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵𝐴)) ≤ (♯‘𝐵))
2612, 15, 18, 25leadd2dd 11247 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) + (♯‘(𝐵𝐴))) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
278, 26eqbrtrd 5053 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ≼ cdom 8493  Fincfn 8495   + caddc 10532   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11888  ♯chash 13689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690 This theorem is referenced by:  hashunlei  13785  hashfun  13797  prmreclem4  16248  fta1glem2  24777  fta1lem  24913  vieta1lem2  24917
 Copyright terms: Public domain W3C validator