Theorem hgt750lemc 34638

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemc	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Distinct variable group:   𝑗,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem hgt750lemc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		chpvalz 34619	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
5		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
6		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._0_3_8_83) · 𝑥) = ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
7	5, 6	breq12d 5120	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥) ↔ (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))
8		ax-ros335 34636	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥))
10	1	nnrpd 12993	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 9, 10	rspcdva 3589	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
12	4, 11	eqbrtrrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208  ℕcn 12186  3c3 12242  8c8 12247  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ...cfz 13468  Σcsu 15652  Λcvma 27002  ψcchp 27003  _cdp2 32791  .cdp 32808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-ros335 34636

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-seq 13967  df-sum 15653  df-chp 27009

This theorem is referenced by:  hgt750leme  34649