Theorem hgt750lemc 35004

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemc	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Distinct variable group:   𝑗,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem hgt750lemc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12620	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		chpvalz 34985	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
5		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
6		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._0_3_8_83) · 𝑥) = ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
7	5, 6	breq12d 5127	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥) ↔ (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))
8		ax-ros335 35002	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥))
10	1	nnrpd 13061	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 9, 10	rspcdva 3590	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
12	4, 11	eqbrtrrd 5140	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  0cc0 11103  1c1 11104   · cmul 11108   < clt 11246  ℕcn 12236  3c3 12299  8c8 12304  ℤcz 12594  ℝ⁺crp 13019  ...cfz 13538  Σcsu 15740  Λcvma 27236  ψcchp 27237  _cdp2 33160  .cdp 33177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-ros335 35002

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fl 13828  df-seq 14041  df-sum 15741  df-chp 27243

This theorem is referenced by:  hgt750leme  35015