Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemc 32043
 Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
hgt750lemc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1.03883) · 𝑁))
Distinct variable group:   𝑗,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem hgt750lemc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750lemc.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnzd 12077 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 chpvalz 32024 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
5 fveq2 6646 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
6 oveq2 7144 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((1.03883) · 𝑥) = ((1.03883) · 𝑁))
75, 6breq12d 5044 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) < ((1.03883) · 𝑥) ↔ (ψ‘𝑁) < ((1.03883) · 𝑁)))
8 ax-ros335 32041 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1.03883) · 𝑥)
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1.03883) · 𝑥))
101nnrpd 12420 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
117, 9, 10rspcdva 3573 . 2 (𝜑 → (ψ‘𝑁) < ((1.03883) · 𝑁))
124, 11eqbrtrrd 5055 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1.03883) · 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  ℕcn 11628  3c3 11684  8c8 11689  ℤcz 11972  ℝ+crp 12380  ...cfz 12888  Σcsu 15037  Λcvma 25687  ψcchp 25688  _cdp2 30583  .cdp 30600 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-ros335 32041 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fl 13160  df-seq 13368  df-sum 15038  df-chp 25694 This theorem is referenced by:  hgt750leme  32054
 Copyright terms: Public domain W3C validator