Theorem hgt750lemc 34148

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemc	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Distinct variable group:   𝑗,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem hgt750lemc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750lemc.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		chpvalz 34129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))
5		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
6		oveq2 7409	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._0_3_8_83) · 𝑥) = ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
7	5, 6	breq12d 5151	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥) ↔ (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁)))
8		ax-ros335 34146	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑥) < ((1._0_3_8_83) · 𝑥))
10	1	nnrpd 13011	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 9, 10	rspcdva 3605	. 2 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))
12	4, 11	eqbrtrrd 5162	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) < ((1._0_3_8_83) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11245  ℕcn 12209  3c3 12265  8c8 12270  ℤcz 12555  ℝ⁺crp 12971  ...cfz 13481  Σcsu 15629  Λcvma 26940  ψcchp 26941  _cdp2 32504  .cdp 32521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-ros335 34146

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-seq 13964  df-sum 15630  df-chp 26947

This theorem is referenced by:  hgt750leme  34159