Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ipoglblem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipoglblem 47702
Description: Lemma for ipoglbdm 47703 and ipoglb 47704. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolub.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
ipolub.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
ipoglblem.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
ipoglblem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑋 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≀ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)
Proof of Theorem ipoglblem
StepHypRef Expression
1 ssint 4968 . . 3 (𝑋 βŠ† ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 βŠ† 𝑦)
2 ipolub.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
32ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
4 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
5 ipolub.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
65ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
7 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
86, 7sseldd 3983 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
9 ipolub.i . . . . . 6 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
10 ipoglblem.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΌ)
119, 10ipole 18492 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑋 ≀ 𝑦 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑦))
123, 4, 8, 11syl3anc 1370 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ≀ 𝑦 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑦))
1312ralbidva 3174 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 βŠ† 𝑦))
141, 13bitr4id 290 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (𝑋 βŠ† ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
15 ssint 4968 . . . . 5 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 βŠ† 𝑦)
163adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
17 simplr 766 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
188adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
199, 10ipole 18492 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 βŠ† 𝑦))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 βŠ† 𝑦))
2120ralbidva 3174 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 βŠ† 𝑦))
2215, 21bitr4id 290 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦))
232ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
24 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
25 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
269, 10ipole 18492 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 ↔ 𝑧 βŠ† 𝑋))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 ↔ 𝑧 βŠ† 𝑋))
2827bicomd 222 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑧 ≀ 𝑋))
2922, 28imbi12d 344 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)))
3029ralbidva 3174 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)))
3114, 30anbi12d 630 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑋 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  lecple 17209  toInccipo 18485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-ipo 18486
This theorem is referenced by:  ipoglbdm  47703  ipoglb  47704
  Copyright terms: Public domain W3C validator