Theorem ipoglblem 48977

Description: Lemma for ipoglbdm 48978 and ipoglb 48979. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipoglblem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≤ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ipoglblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssint 4914	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦)
2		ipolub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		ipolub.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
9		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10		ipoglblem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
11	9, 10	ipole 18440	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
12	3, 4, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
13	12	ralbidva 3150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦))
14	1, 13	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
15		ssint 4914	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦)
16	3	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	8	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
19	9, 10	ipole 18440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
21	20	ralbidva 3150	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦))
22	15, 21	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
23	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
25		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
26	9, 10	ipole 18440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
28	27	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑧 ≤ 𝑋))
29	22, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
30	29	ralbidva 3150	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
31	14, 30	anbi12d 632	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ∩ cint 4896   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  lecple 17168  toInccipo 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-ipo 18434

This theorem is referenced by:  ipoglbdm  48978  ipoglb  48979