Theorem ipoglblem 48878

Description: Lemma for ipoglbdm 48879 and ipoglb 48880. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipoglblem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≤ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ipoglblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssint 4964	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦)
2		ipolub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		ipolub.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
9		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10		ipoglblem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
11	9, 10	ipole 18579	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
12	3, 4, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
13	12	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦))
14	1, 13	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
15		ssint 4964	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦)
16	3	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	8	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
19	9, 10	ipole 18579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
21	20	ralbidva 3176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦))
22	15, 21	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
23	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
25		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
26	9, 10	ipole 18579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
28	27	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑧 ≤ 𝑋))
29	22, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
30	29	ralbidva 3176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
31	14, 30	anbi12d 632	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ∩ cint 4946   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  lecple 17304  toInccipo 18572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ipo 18573

This theorem is referenced by:  ipoglbdm  48879  ipoglb  48880