Theorem ipoglblem 48950

Description: Lemma for ipoglbdm 48951 and ipoglb 48952. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ipoglblem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   ≤ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ipoglblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssint 4924	. . 3 ⊢ (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦)
2		ipolub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		ipolub.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
9		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
10		ipoglblem.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
11	9, 10	ipole 18469	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
12	3, 4, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑦))
13	12	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ⊆ 𝑦))
14	1, 13	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
15		ssint 4924	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦)
16	3	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	8	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐹)
19	9, 10	ipole 18469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑦))
21	20	ralbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ⊆ 𝑦))
22	15, 21	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
23	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ 𝑉)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ 𝐹)
25		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
26	9, 10	ipole 18469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ≤ 𝑋 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑋))
28	27	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑧 ≤ 𝑋))
29	22, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
30	29	ralbidva 3154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋)))
31	14, 30	anbi12d 632	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ((𝑋 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑋)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  lecple 17203  toInccipo 18462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ocomp 17217  df-ipo 18463

This theorem is referenced by:  ipoglbdm  48951  ipoglb  48952