Theorem ipoglb 48976

Description: The GLB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipoglb.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝐺.) Could be significantly shortened if posglbdg 18374 is in quantified form. mrelatglb 18519 could potentially be shortened using this. See mrelatglbALT 48981. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
ipoglb.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglb

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18490	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipoglb.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	3	ipopos 18495	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipoglb.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq2 5111	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑇(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
12		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
13		unilbeu 48970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
16	3, 2, 9, 1	ipoglblem 48974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)
23		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
24	23	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
25		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
26	25	cbvralvw 3215	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
28		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → 𝑤 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣) → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	posglbdg 18374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4910   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18268  glbcglb 18271  toInccipo 18486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-odu 18248  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-ipo 18487

This theorem is referenced by:  ipoglb0  48979  mrelatglbALT  48981  toplatglb  48986  toplatmeet  48988