Theorem ipoglb 49828

Description: The GLB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipoglb.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝐺.) Could be significantly shortened if posglbdg 18493 is in quantified form. mrelatglb 18640 could potentially be shortened using this. See mrelatglbALT 49833. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
ipoglb.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglb

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18611	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipoglb.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	3	ipopos 18616	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipoglb.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq2 5115	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑇(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
12		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
13		unilbeu 49822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
14	13	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
15	10, 12, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
16	3, 2, 9, 1	ipoglblem 49826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
17	10, 16	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
18	15, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇)))
19	18	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)
23		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
24	23	ralbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
25		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
26	25	cbvralvw 3245	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣)
27	24, 26	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
28		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
29	27, 28	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)))
30	18	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → 𝑤 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
34	33	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣) → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	posglbdg 18493	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4914   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  lecple 17341  Posetcpo 18387  glbcglb 18390  toInccipo 18607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ocomp 17355  df-odu 18367  df-proset 18374  df-poset 18393  df-lub 18424  df-glb 18425  df-ipo 18608

This theorem is used by:  ipoglb0  49831  mrelatglbALT  49833  toplatglb  49838  toplatmeet  49840