Theorem ipoglb 49152

Description: The GLB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipoglb.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝐺.) Could be significantly shortened if posglbdg 18327 is in quantified form. mrelatglb 18474 could potentially be shortened using this. See mrelatglbALT 49157. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
ipoglb.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglb

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18445	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipoglb.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	3	ipopos 18450	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipoglb.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq2 5099	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑇(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
12		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
13		unilbeu 49146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
16	3, 2, 9, 1	ipoglblem 49150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3574	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)
23		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
24	23	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
25		breq2 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
26	25	cbvralvw 3211	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
28		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → 𝑤 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣) → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	posglbdg 18327	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860  ∩ cint 4899   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  lecple 17175  Posetcpo 18221  glbcglb 18224  toInccipo 18441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ocomp 17189  df-odu 18201  df-proset 18208  df-poset 18227  df-lub 18258  df-glb 18259  df-ipo 18442

This theorem is referenced by:  ipoglb0  49155  mrelatglbALT  49157  toplatglb  49162  toplatmeet  49164