Theorem ipoglb 48995

Description: The GLB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipoglb.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝐺.) Could be significantly shortened if posglbdg 18338 is in quantified form. mrelatglb 18485 could potentially be shortened using this. See mrelatglbALT 49000. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
ipoglb.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglb

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18456	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipoglb.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	3	ipopos 18461	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipoglb.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq2 5099	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑇(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
12		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
13		unilbeu 48989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
16	3, 2, 9, 1	ipoglblem 48993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)
23		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
24	23	ralbidv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
25		breq2 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
26	25	cbvralvw 3207	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
28		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → 𝑤 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣) → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	posglbdg 18338	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861  ∩ cint 4899   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  lecple 17187  Posetcpo 18232  glbcglb 18235  toInccipo 18452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ocomp 17201  df-odu 18212  df-proset 18219  df-poset 18238  df-lub 18269  df-glb 18270  df-ipo 18453

This theorem is referenced by:  ipoglb0  48998  mrelatglbALT  49000  toplatglb  49005  toplatmeet  49007