Theorem ipoglb 49022

Description: The GLB of the inclusion poset. (hypotheses "ipolub.s" and "ipoglb.t" could be eliminated with 𝑆 ∈ dom 𝐺.) Could be significantly shortened if posglbdg 18314 is in quantified form. mrelatglb 18461 could potentially be shortened using this. See mrelatglbALT 49027. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
ipoglb.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglb

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		ipolub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18432	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		ipoglb.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	3	ipopos 18437	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
9		ipolub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
10		ipoglb.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐹)
11		breq2 5090	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑇(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑇(le‘𝐼)𝑣))
12		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
13		unilbeu 49016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
14	13	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐹 ∧ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
15	10, 12, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
16	3, 2, 9, 1	ipoglblem 49020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
17	10, 16	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇)))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑇(le‘𝐼)𝑦)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	11, 20, 21	rspcdva 3573	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑇(le‘𝐼)𝑣)
23		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
24	23	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦))
25		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
26	25	cbvralvw 3210	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣)
27	24, 26	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣))
28		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧(le‘𝐼)𝑇 ↔ 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)))
30	18	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑇))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → 𝑤 ∈ 𝐹)
33	29, 31, 32	rspcdva 3573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → (∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣 → 𝑤(le‘𝐼)𝑇))
34	33	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑣) → 𝑤(le‘𝐼)𝑇)
35	1, 5, 6, 8, 9, 10, 22, 34	posglbdg 18314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4854  ∩ cint 4892   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  lecple 17163  Posetcpo 18208  glbcglb 18211  toInccipo 18428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ocomp 17177  df-odu 18188  df-proset 18195  df-poset 18214  df-lub 18245  df-glb 18246  df-ipo 18429

This theorem is referenced by:  ipoglb0  49025  mrelatglbALT  49027  toplatglb  49032  toplatmeet  49034