Theorem iseqlgd 28811

Description: Condition for a triangle to be equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iseqlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iseqlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iseqlgd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
iseqlgd.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐴))
iseqlgd.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqlgd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺))

Proof of Theorem iseqlgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		iseqlg.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4		iseqlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		iseqlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		iseqlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		iseqlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		iseqlgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
9		iseqlgd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐴))
10		iseqlgd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 7, 5, 8, 9, 10	trgcgr 28459	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
12		iseqlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		iseqlg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14	1, 2, 12, 13, 4, 5, 6, 7	iseqlg 28810	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
15	11, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14862  Basecbs 17228  distcds 17281  TarskiGcstrkg 28370  Itvcitv 28376  LineGclng 28377  cgrGccgrg 28453  eqltrGceqlg 28808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-hash 14351  df-word 14534  df-concat 14590  df-s1 14615  df-s2 14868  df-s3 14869  df-trkgc 28391  df-trkgcb 28393  df-trkg 28396  df-cgrg 28454  df-eqlg 28809

This theorem is referenced by: (None)