Theorem iseqlgd 27362

Description: Condition for a triangle to be equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iseqlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iseqlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iseqlgd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
iseqlgd.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐴))
iseqlgd.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iseqlgd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺))

Proof of Theorem iseqlgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		iseqlg.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4		iseqlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		iseqlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		iseqlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		iseqlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		iseqlgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
9		iseqlgd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐴))
10		iseqlgd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 7, 5, 8, 9, 10	trgcgr 27010	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
12		iseqlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		iseqlg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14	1, 2, 12, 13, 4, 5, 6, 7	iseqlg 27361	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
15	11, 14	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5086  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ⟨“cs3 14631  Basecbs 16986  distcds 17045  TarskiGcstrkg 26921  Itvcitv 26927  LineGclng 26928  cgrGccgrg 27004  eqltrGceqlg 27359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-hash 14124  df-word 14296  df-concat 14352  df-s1 14378  df-s2 14637  df-s3 14638  df-trkgc 26942  df-trkgcb 26944  df-trkg 26947  df-cgrg 27005  df-eqlg 27360

This theorem is referenced by: (None)