Theorem iseqlg 28840

Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iseqlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iseqlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iseqlg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Proof of Theorem iseqlg

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqlg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		elex 3457	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4		iseqlg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
6	5	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
7		fveq2 6817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
8	7	breqd 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩))
9	6, 8	rabeqbidv 3413	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
10		df-eqlg 28839	. . . . 5 ⊢ eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
11		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
12	11	rabex 5272	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ∈ V
13	9, 10, 12	fvmpt 6924	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
14	1, 2, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
15	14	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩}))
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → 𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17		fveq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
18		fveq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
19		fveq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
20	17, 18, 19	s3eqd 14766	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)
21	16, 20	breq12d 5099	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
22	21	elrab 3642	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
24		iseqlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
25		iseqlg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
26		iseqlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	24, 25, 26	s3cld 14774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
28		s3len 14796	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
29	4	fvexi 6831	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
30		3nn0 12394	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		wrdmap 14448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
33	27, 28, 32	sylanblc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
34	33	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
35		s3fv1 14794	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
36	25, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
37		s3fv2 14795	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
38	26, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
39		s3fv0 14793	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
40	24, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
41	36, 38, 40	s3eqd 14766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
42	41	breq2d 5098	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
43	34, 42	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
44	15, 23, 43	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  0cc0 11001  1c1 11002  2c2 12175  3c3 12176  ℕ₀cn0 12376  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415  ⟨“cs3 14744  Basecbs 17115  distcds 17165  TarskiGcstrkg 28400  Itvcitv 28406  LineGclng 28407  cgrGccgrg 28483  eqltrGceqlg 28838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473  df-s1 14499  df-s2 14750  df-s3 14751  df-eqlg 28839

This theorem is referenced by:  iseqlgd  28841