Theorem iseqlg 28794

Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iseqlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iseqlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iseqlg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Proof of Theorem iseqlg

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqlg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		elex 3468	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4		iseqlg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4di 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
6	5	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
7		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
8	7	breqd 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩))
9	6, 8	rabeqbidv 3424	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
10		df-eqlg 28793	. . . . 5 ⊢ eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
11		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
12	11	rabex 5294	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ∈ V
13	9, 10, 12	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
14	1, 2, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
15	14	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩}))
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → 𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
18		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
19		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
20	17, 18, 19	s3eqd 14830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)
21	16, 20	breq12d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
22	21	elrab 3659	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
24		iseqlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
25		iseqlg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
26		iseqlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	24, 25, 26	s3cld 14838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
28		s3len 14860	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
29	4	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
30		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		wrdmap 14511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
33	27, 28, 32	sylanblc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
34	33	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
35		s3fv1 14858	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
36	25, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
37		s3fv2 14859	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
38	26, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
39		s3fv0 14857	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
40	24, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
41	36, 38, 40	s3eqd 14830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
42	41	breq2d 5119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
43	34, 42	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
44	15, 23, 43	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  0cc0 11068  1c1 11069  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  ⟨“cs3 14808  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  cgrGccgrg 28437  eqltrGceqlg 28792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-eqlg 28793

This theorem is referenced by:  iseqlgd  28795