MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseqlg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseqlg 26586
Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m = (dist‘𝐺)
iseqlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a (𝜑𝐴𝑃)
iseqlg.b (𝜑𝐵𝑃)
iseqlg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
iseqlg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Proof of Theorem iseqlg
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqlg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
2 elex 3518 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3 fveq2 6669 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4 iseqlg.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
53, 4syl6eqr 2879 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
65oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) = (𝑃m (0..^3)))
7 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
87breqd 5074 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩))
96, 8rabeqbidv 3491 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} = {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
10 df-eqlg 26585 . . . . 5 eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
11 ovex 7183 . . . . . 6 (𝑃m (0..^3)) ∈ V
1211rabex 5232 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 6767 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
141, 2, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
1514eleq2d 2903 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩}))
16 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → 𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17 fveq1 6668 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
18 fveq1 6668 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
19 fveq1 6668 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
2017, 18, 19s3eqd 14221 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)
2116, 20breq12d 5076 . . . 4 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
2221elrab 3684 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
24 iseqlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
25 iseqlg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
26 iseqlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
2724, 25, 26s3cld 14229 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
28 s3len 14251 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
294fvexi 6683 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
30 3nn0 11909 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
31 wrdmap 13892 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))))
3229, 30, 31mp2an 688 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
3327, 28, 32sylanblc 589 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
3433biantrurd 533 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
35 s3fv1 14249 . . . . . 6 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
3625, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
37 s3fv2 14250 . . . . . 6 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3826, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
39 s3fv0 14248 . . . . . 6 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4024, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4136, 38, 40s3eqd 14221 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
4241breq2d 5075 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
4334, 42bitr3d 282 . 2 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
4415, 23, 433bitrd 306 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3147  Vcvv 3500   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  m cmap 8401  0cc0 10531  1c1 10532  2c2 11686  3c3 11687  0cn0 11891  ..^cfzo 13028  chash 13685  Word cword 13856  ⟨“cs3 14199  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26149  Itvcitv 26155  LineGclng 26156  cgrGccgrg 26229  eqltrGceqlg 26584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-eqlg 26585
This theorem is referenced by:  iseqlgd  26587
  Copyright terms: Public domain W3C validator