Theorem iseqlg 26167

Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
iseqlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iseqlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iseqlg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Proof of Theorem iseqlg

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqlg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		elex 3430	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3		fveq2 6434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4		iseqlg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	syl6eqr 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
6	5	oveq1d 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) = (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)))
7		fveq2 6434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
8	7	breqd 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩))
9	6, 8	rabeqbidv 3409	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
10		df-eqlg 26166	. . . . 5 ⊢ eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
11		ovex 6938	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∈ V
12	11	rabex 5038	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ∈ V
13	9, 10, 12	fvmpt 6530	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
14	1, 2, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
15	14	eleq2d 2893	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩}))
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → 𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17		fveq1 6433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
18		fveq1 6433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
19		fveq1 6433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
20	17, 18, 19	s3eqd 13986	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)
21	16, 20	breq12d 4887	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
22	21	elrab 3586	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
24		iseqlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
25		iseqlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
26		iseqlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
27	24, 25, 26	s3cld 13994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
28		s3len 14016	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
30	27, 29	jca 509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
31	4	fvexi 6448	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
32		3nn0 11639	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
33		wrdmap 13607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3))))
34	31, 32, 33	mp2an 685	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)))
35	30, 34	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)))
36	35	biantrurd 530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
37		s3fv1 14014	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
38	25, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
39		s3fv2 14015	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
40	26, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
41		s3fv0 14013	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
42	24, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
43	38, 40, 42	s3eqd 13986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
44	43	breq2d 4886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
45	36, 44	bitr3d 273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
46	15, 23, 45	3bitrd 297	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3122  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↑_𝑚 cmap 8123  0cc0 10253  1c1 10254  2c2 11407  3c3 11408  ℕ₀cn0 11619  ..^cfzo 12761  ♯chash 13411  Word cword 13575  ⟨“cs3 13964  Basecbs 16223  distcds 16315  TarskiGcstrkg 25743  Itvcitv 25749  LineGclng 25750  cgrGccgrg 25823  eqltrGceqlg 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971  df-eqlg 26166

This theorem is referenced by:  iseqlgd  26168