MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseqlg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseqlg 28689
Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
iseqlg.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
iseqlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
iseqlg.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
iseqlg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
iseqlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
iseqlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iseqlg (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (eqltrGβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©))

Proof of Theorem iseqlg
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqlg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2 elex 3490 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ 𝐺 ∈ V)
3 fveq2 6900 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = (Baseβ€˜πΊ))
4 iseqlg.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4eqtr4di 2785 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = 𝑃)
65oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
7 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (cgrGβ€˜π‘”) = (cgrGβ€˜πΊ))
87breqd 5161 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜π‘”)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ© ↔ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©))
96, 8rabeqbidv 3446 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜π‘”)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©} = {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©})
10 df-eqlg 28688 . . . . 5 eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘”) ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜π‘”)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©})
11 ovex 7457 . . . . . 6 (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
1211rabex 5336 . . . . 5 {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 7008 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (eqltrGβ€˜πΊ) = {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©})
141, 2, 133syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (eqltrGβ€˜πΊ) = {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©})
1514eleq2d 2814 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (eqltrGβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©}))
16 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
17 fveq1 6899 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ (π‘₯β€˜1) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1))
18 fveq1 6899 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ (π‘₯β€˜2) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2))
19 fveq1 6899 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ (π‘₯β€˜0) = (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0))
2017, 18, 19s3eqd 14853 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©)
2116, 20breq12d 5163 . . . 4 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© β†’ (π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©))
2221elrab 3682 . . 3 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©} ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©))
2322a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ {π‘₯ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ π‘₯(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(π‘₯β€˜1)(π‘₯β€˜2)(π‘₯β€˜0)β€βŸ©} ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©)))
24 iseqlg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
25 iseqlg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
26 iseqlg.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2724, 25, 26s3cld 14861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃)
28 s3len 14883 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3
294fvexi 6914 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
30 3nn0 12526 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
31 wrdmap 14534 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
3229, 30, 31mp2an 690 . . . . 5 ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word 𝑃 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
3327, 28, 32sylanblc 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
3433biantrurd 531 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ© ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©)))
35 s3fv1 14881 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
3625, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
37 s3fv2 14882 . . . . . 6 (𝐢 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
3826, 37syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2) = 𝐢)
39 s3fv0 14880 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
4024, 39syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0) = 𝐴)
4136, 38, 40s3eqd 14853 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©)
4241breq2d 5162 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©))
4334, 42bitr3d 280 . 2 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œ(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜1)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜2)(βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©β€˜0)β€βŸ©) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©))
4415, 23, 433bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ (eqltrGβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428  Vcvv 3471   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ↑m cmap 8849  0cc0 11144  1c1 11145  2c2 12303  3c3 12304  β„•0cn0 12508  ..^cfzo 13665  β™―chash 14327  Word cword 14502  βŸ¨β€œcs3 14831  Basecbs 17185  distcds 17247  TarskiGcstrkg 28249  Itvcitv 28255  LineGclng 28256  cgrGccgrg 28332  eqltrGceqlg 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-s3 14838  df-eqlg 28688
This theorem is referenced by:  iseqlgd  28690
  Copyright terms: Public domain W3C validator