Theorem isershft 15606

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
isershft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
isershft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem isershft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 12549	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
2		isershft.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	seqshft 15027	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
4	1, 3	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
5		zcn 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		zcn 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		pncan 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
9	8	seqeq1d 13948	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
10	9	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
11	4, 10	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
12	11	breq1d 5112	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
13		seqex 13944	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
14		climshft 15518	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
17	12, 16	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047   − cmin 11381  ℤcz 12505  seqcseq 13942   shift cshi 15008   ⇝ cli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-shft 15009  df-clim 15430

This theorem is referenced by:  isumshft  15781  geolim3  26223  dvradcnv  26306  abelthlem6  26322