Theorem iunincfi 45416

Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunincfi.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunincfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
iunincfi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
4		elfzuz3 13442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
6		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7		elfzuz 13441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		fzoss1 13607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
12	10, 11	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	adantll 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
15	14	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17		fvoveq1 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
19	15, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20		iunincfi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
21	19, 20	chvarvv 1991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
22	6, 13, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
23	5, 22	ssinc 45409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
24	23	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
25		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
26	24, 25	sseldd 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
27	26	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))))
28	27	rexlimdv 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁)))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
30	3, 29	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
31	30	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
32		dfss3 3923	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
33	31, 32	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
34		iunincfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzfz2 13453	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
38	37	ssiun2s 5005	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
40	33, 39	eqssd 3952	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4947  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11032   + caddc 11034  ℤ_≥cuz 12756  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46801