Theorem iunincfi 45118

Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunincfi.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunincfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
iunincfi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
4		elfzuz3 13538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
6		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7		elfzuz 13537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		fzoss1 13703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
12	10, 11	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
15	14	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
19	15, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20		iunincfi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
21	19, 20	chvarvv 1998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
22	6, 13, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
23	5, 22	ssinc 45111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
25		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
26	24, 25	sseldd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
27	26	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))))
28	27	rexlimdv 3139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁)))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
30	3, 29	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
31	30	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
32		dfss3 3947	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
33	31, 32	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
34		iunincfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzfz2 13549	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
38	37	ssiun2s 5024	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
40	33, 39	eqssd 3976	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ∪ ciun 4967  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46509