Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunincfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunincfi 45034
Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunincfi.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iunincfi.2 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
iunincfi (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 5000 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 216 . . . . . 6 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 elfzuz3 13558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
54adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
6 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
8 fzoss1 13723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
1210, 11sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
1312adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1514anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
17 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1816, 17sseq12d 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
1915, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20 iunincfi.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2119, 20chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
226, 13, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
235, 22ssinc 45027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
24233adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
25 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2624, 25sseldd 3996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
27263exp 1118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))))
2827rexlimdv 3151 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁)))
2928imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
303, 29syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3130ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
32 dfss3 3984 . . 3 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3331, 32sylibr 234 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
34 iunincfi.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13569 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37 fveq2 6907 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
3837ssiun2s 5053 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
3936, 38syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
4033, 39eqssd 4013 1 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   ciun 4996  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46436
  Copyright terms: Public domain W3C validator