Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunincfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunincfi 42223
Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunincfi.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iunincfi.2 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
iunincfi (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4895 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 219 . . . . . 6 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 elfzuz3 13008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
54adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
6 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7 elfzuz 13007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
8 fzoss1 13168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
109adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
1210, 11sseldd 3888 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
1312adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1514anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16 fveq2 6687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
17 fvoveq1 7206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1816, 17sseq12d 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
1915, 18imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20 iunincfi.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2119, 20chvarvv 2010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
226, 13, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
235, 22ssinc 42216 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
24233adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
25 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2624, 25sseldd 3888 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
27263exp 1120 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))))
2827rexlimdv 3194 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁)))
2928imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
303, 29syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3130ralrimiva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
32 dfss3 3875 . . 3 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3331, 32sylibr 237 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
34 iunincfi.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13019 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37 fveq2 6687 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
3837ssiun2s 4944 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
3936, 38syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
4033, 39eqssd 3904 1 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  wss 3853   ciun 4891  cfv 6350  (class class class)co 7183  1c1 10629   + caddc 10631  cuz 12337  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  43601
  Copyright terms: Public domain W3C validator