Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunincfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunincfi 45099
Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunincfi.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iunincfi.2 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
iunincfi (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4995 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 216 . . . . . 6 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 elfzuz3 13561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
54adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
6 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
8 fzoss1 13726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
1210, 11sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
1312adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1514anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
17 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1816, 17sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
1915, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20 iunincfi.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2119, 20chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
226, 13, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
235, 22ssinc 45092 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
24233adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
25 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2624, 25sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
27263exp 1120 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))))
2827rexlimdv 3153 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁)))
2928imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
303, 29syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3130ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
32 dfss3 3972 . . 3 ( 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛)𝑥 ∈ (𝐹𝑁))
3331, 32sylibr 234 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑁))
34 iunincfi.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
35 eluzfz2 13572 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37 fveq2 6906 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
3837ssiun2s 5048 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
3936, 38syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛))
4033, 39eqssd 4001 1 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   ciun 4991  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46495
  Copyright terms: Public domain W3C validator