Theorem iunincfi 44086

Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunincfi.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunincfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
iunincfi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 5002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
4		elfzuz3 13503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
6		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7		elfzuz 13502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		fzoss1 13664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
12	10, 11	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
15	14	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 4016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
19	15, 18	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20		iunincfi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
21	19, 20	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
22	6, 13, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
23	5, 22	ssinc 44079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
24	23	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
25		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
26	24, 25	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
27	26	3exp 1118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))))
28	27	rexlimdv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁)))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
30	3, 29	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
31	30	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
32		dfss3 3971	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
33	31, 32	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
34		iunincfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzfz2 13514	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
38	37	ssiun2s 5052	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
40	33, 39	eqssd 4000	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3949  ∪ ciun 4998  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  1c1 11114   + caddc 11116  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  45496