Theorem iunincfi 45095

Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunincfi.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunincfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
iunincfi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
4		elfzuz3 13489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
6		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
7		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		fzoss1 13654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
12	10, 11	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
14		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
15	14	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
16		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	16, 17	sseq12d 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
19	15, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
20		iunincfi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
21	19, 20	chvarvv 1989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
22	6, 13, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
23	5, 22	ssinc 45088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
25		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
26	24, 25	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
27	26	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))))
28	27	rexlimdv 3133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁)))
29	28	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
30	3, 29	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
31	30	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
32		dfss3 3938	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
33	31, 32	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
34		iunincfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		eluzfz2 13500	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
37		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
38	37	ssiun2s 5015	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
40	33, 39	eqssd 3967	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ∪ ciun 4958  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  46485