Theorem iunincfi 45913

Description: Given a sequence of increasing sets, the union of a finite subsequence, is its last element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunincfi.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunincfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
iunincfi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iunincfi

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3		elfzuz3 13577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
5		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝜑)
6		elfzuz 13576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		fzoss1 13744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝑛..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁))
11	9, 10	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
12	11	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
13		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))))
15		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
16		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
17	15, 16	sseq12d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1))))
18	14, 17	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))))
19		iunincfi.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
20	18, 19	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21	5, 12, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑛..^𝑁)) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘(𝑚 + 1)))
22	4, 21	ssinc 45906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
24		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
25	23, 24	sseldd 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
26	25	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))))
27	26	rexlimdv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁)))
28	27	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
29	2, 28	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
30	29	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
31		dfss3 3923	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑁))
32	30, 31	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑁))
33		iunincfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 13588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
37	36	ssiun2s 5011	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
38	35, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛))
39	32, 38	eqssd 3951	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712

This theorem is used by:  meaiuninclem  47295