Theorem lactlmhm 33892

Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is a module homomorphism, analogous to ringlghm 20341. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m	⊢ · = (.r‘𝐴)
lactlmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
lactlmhm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lactlmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lactlmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lactlmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
2		assalmod 21892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
4		lactlmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
5		assaring 21893	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
7		lactlmhm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		lactlmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		lactlmhm.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	8, 9	ringlghm 20341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
11	6, 7, 10	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
12	4, 11	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
13		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴))
14	1	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
15		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	7	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
19		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21	8, 18, 19, 20, 9	assaassr 21891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
23		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
24	3	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
25	8, 18, 20, 19, 24, 15, 17	lmodvscld 20926	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) ∈ 𝐵)
26		ovexd 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) ∈ V)
27	4, 23, 25, 26	fvmptd3 6995	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
28		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑏))
29		ovexd 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑏) ∈ V)
30	4, 28, 17, 29	fvmptd3 6995	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐶 · 𝑏))
31	30	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
32	22, 27, 31	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
33	32	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
35	18, 18, 19, 8, 20, 20	islmhm 21074	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))))
36	35	biimpri 230	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
37	3, 3, 12, 13, 34, 36	syl23anc 1395	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273   GrpHom cghm 19236  Ringcrg 20262  LModclmod 20907   LMHom clmhm 21066  AssAlgcasa 21882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-ghm 19237  df-mgp 20170  df-ring 20264  df-lmod 20909  df-lmhm 21069  df-assa 21885

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33893