Theorem lactlmhm 33637

Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is a module homomorphism, analogous to ringlghm 20223. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m	⊢ · = (.r‘𝐴)
lactlmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
lactlmhm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lactlmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lactlmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lactlmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
2		assalmod 21790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
4		lactlmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
5		assaring 21791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
7		lactlmhm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		lactlmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		lactlmhm.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	8, 9	ringlghm 20223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
12	4, 11	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
13		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴))
14	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
15		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
19		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
20		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21	8, 18, 19, 20, 9	assaassr 21789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
23		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
24	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
25	8, 18, 20, 19, 24, 15, 17	lmodvscld 20805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) ∈ 𝐵)
26		ovexd 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) ∈ V)
27	4, 23, 25, 26	fvmptd3 6947	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
28		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑏))
29		ovexd 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑏) ∈ V)
30	4, 28, 17, 29	fvmptd3 6947	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐶 · 𝑏))
31	30	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
32	22, 27, 31	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
35	18, 18, 19, 8, 20, 20	islmhm 20954	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))))
36	35	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
37	3, 3, 12, 13, 34, 36	syl23anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  Vcvv 3434   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  ._rcmulr 17154  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157   GrpHom cghm 19117  Ringcrg 20144  LModclmod 20786   LMHom clmhm 20946  AssAlgcasa 21780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-ghm 19118  df-mgp 20052  df-ring 20146  df-lmod 20788  df-lmhm 20949  df-assa 21783

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33638