Theorem lactlmhm 34336

Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is a module homomorphism, analogous to ringlghm 20573. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m	⊢ · = (.r‘𝐴)
lactlmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
lactlmhm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lactlmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lactlmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lactlmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
2		assalmod 22198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
4		lactlmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
5		assaring 22199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
7		lactlmhm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		lactlmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		lactlmhm.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	8, 9	ringlghm 20573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
11	6, 7, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
12	4, 11	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
13		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴))
14	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
15		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21	8, 18, 19, 20, 9	assaassr 22197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
23		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
24	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
25	8, 18, 20, 19, 24, 15, 17	lmodvscld 21184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) ∈ 𝐵)
26		ovexd 7478	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) ∈ V)
27	4, 23, 25, 26	fvmptd3 7040	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
28		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑏))
29		ovexd 7478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑏) ∈ V)
30	4, 28, 17, 29	fvmptd3 7040	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐶 · 𝑏))
31	30	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
32	22, 27, 31	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
33	32	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
35	18, 18, 19, 8, 20, 20	islmhm 21332	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))))
36	35	biimpri 231	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
37	3, 3, 12, 13, 34, 36	syl23anc 1405	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461   GrpHom cghm 19456  Ringcrg 20489  LModclmod 21165   LMHom clmhm 21324  AssAlgcasa 22188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-ghm 19457  df-mgp 20391  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lmhm 21327  df-assa 22191

This theorem is used by:  assalactf1o  34337