Theorem lactlmhm 33772

Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is a module homomorphism, analogous to ringlghm 20251. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m	⊢ · = (.r‘𝐴)
lactlmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
lactlmhm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lactlmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lactlmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lactlmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
2		assalmod 21819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
4		lactlmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
5		assaring 21820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
7		lactlmhm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		lactlmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		lactlmhm.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	8, 9	ringlghm 20251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
11	6, 7, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
12	4, 11	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
13		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴))
14	1	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
15		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	7	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21	8, 18, 19, 20, 9	assaassr 21818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
23		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
24	3	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
25	8, 18, 20, 19, 24, 15, 17	lmodvscld 20834	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) ∈ 𝐵)
26		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) ∈ V)
27	4, 23, 25, 26	fvmptd3 6966	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
28		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑏))
29		ovexd 7395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑏) ∈ V)
30	4, 28, 17, 29	fvmptd3 6966	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐶 · 𝑏))
31	30	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
32	22, 27, 31	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
35	18, 18, 19, 8, 20, 20	islmhm 20983	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))))
36	35	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
37	3, 3, 12, 13, 34, 36	syl23anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185   GrpHom cghm 19145  Ringcrg 20172  LModclmod 20815   LMHom clmhm 20975  AssAlgcasa 21809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-ghm 19146  df-mgp 20080  df-ring 20174  df-lmod 20817  df-lmhm 20978  df-assa 21812

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33773