Theorem lactlmhm 33606

Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is a module homomorphism, analogous to ringlghm 20215. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lactlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m	⊢ · = (.r‘𝐴)
lactlmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
lactlmhm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lactlmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lactlmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lactlmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
2		assalmod 21785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
4		lactlmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
5		assaring 21786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
7		lactlmhm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
8		lactlmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		lactlmhm.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
10	8, 9	ringlghm 20215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥)) ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
12	4, 11	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴))
13		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴))
14	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
15		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21	8, 18, 19, 20, 9	assaassr 21784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
23		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
24	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
25	8, 18, 20, 19, 24, 15, 17	lmodvscld 20800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏) ∈ 𝐵)
26		ovexd 7388	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) ∈ V)
27	4, 23, 25, 26	fvmptd3 6957	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝐶 · (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)))
28		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑏))
29		ovexd 7388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑏) ∈ V)
30	4, 28, 17, 29	fvmptd3 6957	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐶 · 𝑏))
31	30	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐶 · 𝑏)))
32	22, 27, 31	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
33	32	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))
35	18, 18, 19, 8, 20, 20	islmhm 20949	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))))
36	35	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
37	3, 3, 12, 13, 34, 36	syl23anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183   GrpHom cghm 19109  Ringcrg 20136  LModclmod 20781   LMHom clmhm 20941  AssAlgcasa 21775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-ghm 19110  df-mgp 20044  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-lmhm 20944  df-assa 21778

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33607