Theorem lvecendof1f1o 33777

Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecendof1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lvecendof1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecendof1f1o.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)
2		lvecendof1f1o.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3		lvecendof1f1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4	3, 3	lmhmf 21029	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffnd 6670	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn 𝐵)
7		lvecendof1f1o.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
8		lvecendof1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9		lmhmrnlss 21045	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
10	2, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) = (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s ran 𝑈) = (𝐸 ↾s ran 𝑈)
14	11, 12, 13	dimkerim 33771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
15	7, 2, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})
17		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
18	16, 11, 17	lmhmkerlss 21046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
20	12, 17	lsslvec 21104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
21	7, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
22	2	lmhmghmd 33097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
23	3, 3, 11, 11	kerf1ghm 19222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ↔ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)}))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵–1-1→𝐵) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
25	22, 1, 24	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
26		cnvimass 6048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
27	26, 5	fssdm 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵)
28	12, 3	ressbas2 17208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
30	7	lvecgrpd 21103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
31	30	grpmndd 18922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
32	3, 11	mndidcl 18717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Mnd → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
34	11, 11	ghmid 19197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
36		fvex 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ V
37	36	snid 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ {(0g‘𝐸)}
38	35, 37	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) ∈ {(0g‘𝐸)})
39	6, 33, 38	elpreimad 7012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
40	12, 3, 11	ress0g 18730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
41	31, 39, 27, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
42	41	sneqd 4580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
43	25, 29, 42	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
44		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))
45	44	lvecdim0 33751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
47	21, 43, 46	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
48	47	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
49	13, 17	lsslvec 21104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
50	7, 10, 49	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
51		dimcl 33747	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52		xnn0xr 12515	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53		xaddlid 13194	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
54	50, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
55	15, 48, 54	3eqtrrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
56	3, 7, 8, 10, 55	dimlssid 33776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57		df-fo 6505	. . 3 ⊢ (𝑈:𝐵–onto→𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
58	6, 56, 57	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–onto→𝐵)
59		df-f1o 6506	. 2 ⊢ (𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ∧ 𝑈:𝐵–onto→𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11178  ℕ₀cn0 12437  ℕ₀^*cxnn0 12510   +_𝑒 cxad 13061  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702   GrpHom cghm 19187  LSubSpclss 20926   LMHom clmhm 21014  LVecclvec 21097  dimcldim 33743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-r1 9688  df-rank 9689  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-xadd 13064  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-mri 17550  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-nzr 20490  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lmhm 21017  df-lmim 21018  df-lbs 21070  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-uvc 21763  df-lindf 21786  df-linds 21787  df-dim 33744

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33779