Theorem lvecendof1f1o 33636

Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecendof1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lvecendof1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecendof1f1o.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)
2		lvecendof1f1o.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3		lvecendof1f1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4	3, 3	lmhmf 20961	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffnd 6648	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn 𝐵)
7		lvecendof1f1o.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
8		lvecendof1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9		lmhmrnlss 20977	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
10	2, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) = (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
13		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s ran 𝑈) = (𝐸 ↾s ran 𝑈)
14	11, 12, 13	dimkerim 33630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
15	7, 2, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
16		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})
17		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
18	16, 11, 17	lmhmkerlss 20978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
20	12, 17	lsslvec 21036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
21	7, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
22	2	lmhmghmd 33008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
23	3, 3, 11, 11	kerf1ghm 19152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ↔ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)}))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵–1-1→𝐵) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
25	22, 1, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
26		cnvimass 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
27	26, 5	fssdm 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵)
28	12, 3	ressbas2 17141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
30	7	lvecgrpd 21035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
31	30	grpmndd 18851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
32	3, 11	mndidcl 18649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Mnd → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
34	11, 11	ghmid 19127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
36		fvex 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ V
37	36	snid 4613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ {(0g‘𝐸)}
38	35, 37	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) ∈ {(0g‘𝐸)})
39	6, 33, 38	elpreimad 6987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
40	12, 3, 11	ress0g 18662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
41	31, 39, 27, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
42	41	sneqd 4586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
43	25, 29, 42	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
44		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))
45	44	lvecdim0 33609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
47	21, 43, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
48	47	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
49	13, 17	lsslvec 21036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
50	7, 10, 49	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
51		dimcl 33605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52		xnn0xr 12451	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53		xaddlid 13133	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
54	50, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
55	15, 48, 54	3eqtrrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
56	3, 7, 8, 10, 55	dimlssid 33635	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57		df-fo 6483	. . 3 ⊢ (𝑈:𝐵–onto→𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
58	6, 56, 57	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–onto→𝐵)
59		df-f1o 6484	. 2 ⊢ (𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ∧ 𝑈:𝐵–onto→𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  {csn 4574  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615   “ cima 5617   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  –1-1→wf1 6474  –onto→wfo 6475  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  ℝ^*cxr 11137  ℕ₀cn0 12373  ℕ₀^*cxnn0 12446   +_𝑒 cxad 13001  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  0_gc0g 17335  Mndcmnd 18634   GrpHom cghm 19117  LSubSpclss 20857   LMHom clmhm 20946  LVecclvec 21029  dimcldim 33601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-r1 9649  df-rank 9650  df-dju 9786  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-xadd 13004  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ocomp 17174  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-mri 17482  df-acs 17483  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18211  df-ipo 18426  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-nzr 20421  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lmhm 20949  df-lmim 20950  df-lbs 21002  df-lvec 21030  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-dsmm 21662  df-frlm 21677  df-uvc 21713  df-lindf 21736  df-linds 21737  df-dim 33602

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33638