Theorem lvecendof1f1o 34308

Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecendof1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lvecendof1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecendof1f1o.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)
2		lvecendof1f1o.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3		lvecendof1f1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4	3, 3	lmhmf 21310	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn 𝐵)
7		lvecendof1f1o.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
8		lvecendof1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9		lmhmrnlss 21326	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
10	2, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) = (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s ran 𝑈) = (𝐸 ↾s ran 𝑈)
14	11, 12, 13	dimkerim 34302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
15	7, 2, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})
17		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
18	16, 11, 17	lmhmkerlss 21327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
19	2, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
20	12, 17	lsslvec 21385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
21	7, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
22	2	lmhmghmd 33640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
23	3, 3, 11, 11	kerf1ghm 19462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ↔ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)}))
24	23	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵–1-1→𝐵) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
25	22, 1, 24	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
26		cnvimass 6198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
27	26, 5	fssdm 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵)
28	12, 3	ressbas2 17417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
30	7	lvecgrpd 21384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
31	30	grpmndd 19158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
32	3, 11	mndidcl 18940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Mnd → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
34	11, 11	ghmid 19437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
35	22, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
36		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ V
37	36	snid 4622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ {(0g‘𝐸)}
38	35, 37	eqeltrdi 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) ∈ {(0g‘𝐸)})
39	6, 33, 38	elpreimad 7058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
40	12, 3, 11	ress0g 18955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
41	31, 39, 27, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
42	41	sneqd 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
43	25, 29, 42	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
44		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))
45	44	lvecdim0 34282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}))
46	45	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
47	21, 43, 46	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
48	47	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (0 +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
49	13, 17	lsslvec 21385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
50	7, 10, 49	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
51		dimcl 34278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52		xnn0xr 12685	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53		xaddlid 13373	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
54	50, 51, 52, 53	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +e (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
55	15, 48, 54	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
56	3, 7, 8, 10, 55	dimlssid 34307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57		df-fo 6544	. . 3 ⊢ (𝑈:𝐵–onto→𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
58	6, 56, 57	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–onto→𝐵)
59		df-f1o 6545	. 2 ⊢ (𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ∧ 𝑈:𝐵–onto→𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  {csn 4583  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  ℝ^*cxr 11343  ℕ₀cn0 12607  ℕ₀^*cxnn0 12680   +_e cxad 13240  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  0_gc0g 17611  Mndcmnd 18924   GrpHom cghm 19428  LSubSpclss 21207   LMHom clmhm 21295  LVecclvec 21378  dimcldim 34274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9587  ax-inf2 9643  ax-ac2 10542  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-r1 9769  df-rank 9770  df-scott 9930  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-ac 10196  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-xadd 13243  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ocomp 17450  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-mri 17759  df-acs 17760  df-proset 18469  df-drs 18470  df-poset 18488  df-ipo 18703  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-nzr 20764  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lmhm 21298  df-lmim 21299  df-lbs 21351  df-lvec 21379  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-uvc 22090  df-lindf 22113  df-linds 22114  df-dim 34275

This theorem is used by:  assalactf1o  34310