Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecendof1f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecendof1f1o 33684
Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecendof1f1o.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e (𝜑𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1 (𝜑𝑈:𝐵1-1𝐵)
Assertion
Ref Expression
lvecendof1f1o (𝜑𝑈:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o
StepHypRef Expression
1 lvecendof1f1o.1 . 2 (𝜑𝑈:𝐵1-1𝐵)
2 lvecendof1f1o.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3 lvecendof1f1o.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐸)
43, 3lmhmf 21033 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵𝐵)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈:𝐵𝐵)
65ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝑈 Fn 𝐵)
7 lvecendof1f1o.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ LVec)
8 lvecendof1f1o.d . . . 4 (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9 lmhmrnlss 21049 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
102, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐸) = (0g𝐸)
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})) = (𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐸s ran 𝑈) = (𝐸s ran 𝑈)
1411, 12, 13dimkerim 33678 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))))
157, 2, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = (𝑈 “ {(0g𝐸)})
17 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
1816, 11, 17lmhmkerlss 21050 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
2012, 17lsslvec 21108 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ LVec ∧ (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})) ∈ LVec)
217, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})) ∈ LVec)
222lmhmghmd 33042 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
233, 3, 11, 11kerf1ghm 19265 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵1-1𝐵 ↔ (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = {(0g𝐸)}))
2423biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵1-1𝐵) → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = {(0g𝐸)})
2522, 1, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = {(0g𝐸)})
26 cnvimass 6100 . . . . . . . . . 10 (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
2726, 5fssdm 6755 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ⊆ 𝐵)
2812, 3ressbas2 17283 . . . . . . . . 9 ((𝑈 “ {(0g𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = (Base‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 “ {(0g𝐸)}) = (Base‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))))
307lvecgrpd 21107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Grp)
3130grpmndd 18964 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ Mnd)
323, 11mndidcl 18762 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Mnd → (0g𝐸) ∈ 𝐵)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g𝐸) ∈ 𝐵)
3411, 11ghmid 19240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g𝐸)) = (0g𝐸))
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈‘(0g𝐸)) = (0g𝐸))
36 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐸) ∈ V
3736snid 4662 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐸) ∈ {(0g𝐸)}
3835, 37eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈‘(0g𝐸)) ∈ {(0g𝐸)})
396, 33, 38elpreimad 7079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐸) ∈ (𝑈 “ {(0g𝐸)}))
4012, 3, 11ress0g 18775 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g𝐸) ∈ (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ∧ (𝑈 “ {(0g𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g𝐸) = (0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))))
4131, 39, 27, 40syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐸) = (0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))))
4241sneqd 4638 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(0g𝐸)} = {(0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})))})
4325, 29, 423eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})))})
44 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = (0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})))
4544lvecdim0 33657 . . . . . . . 8 ((𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})))}))
4645biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = 0)
4721, 43, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) = 0)
4847oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((dim‘(𝐸s (𝑈 “ {(0g𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))) = (0 +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))))
4913, 17lsslvec 21108 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸s ran 𝑈) ∈ LVec)
507, 10, 49syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸s ran 𝑈) ∈ LVec)
51 dimcl 33653 . . . . . 6 ((𝐸s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52 xnn0xr 12604 . . . . . 6 ((dim‘(𝐸s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53 xaddlid 13284 . . . . . 6 ((dim‘(𝐸s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸s ran 𝑈)))
5450, 51, 52, 534syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸s ran 𝑈)))
5515, 48, 543eqtrrd 2782 . . . 4 (𝜑 → (dim‘(𝐸s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
563, 7, 8, 10, 55dimlssid 33683 . . 3 (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57 df-fo 6567 . . 3 (𝑈:𝐵onto𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
586, 56, 57sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝑈:𝐵onto𝐵)
59 df-f1o 6568 . 2 (𝑈:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝑈:𝐵1-1𝐵𝑈:𝐵onto𝐵))
601, 58, 59sylanbrc 583 1 (𝜑𝑈:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  *cxr 11294  0cn0 12526  0*cxnn0 12599   +𝑒 cxad 13152  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747   GrpHom cghm 19230  LSubSpclss 20929   LMHom clmhm 21018  LVecclvec 21101  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-dim 33650
This theorem is referenced by:  assalactf1o  33686
  Copyright terms: Public domain W3C validator