Theorem lvecendof1f1o 34032

Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecendof1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lvecendof1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecendof1f1o.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)
2		lvecendof1f1o.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3		lvecendof1f1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4	3, 3	lmhmf 21166	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn 𝐵)
7		lvecendof1f1o.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
8		lvecendof1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9		lmhmrnlss 21182	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
10	2, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) = (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
13		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s ran 𝑈) = (𝐸 ↾s ran 𝑈)
14	11, 12, 13	dimkerim 34026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
15	7, 2, 14	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
16		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})
17		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
18	16, 11, 17	lmhmkerlss 21183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
19	2, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
20	12, 17	lsslvec 21241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
21	7, 19, 20	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
22	2	lmhmghmd 33365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
23	3, 3, 11, 11	kerf1ghm 19323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ↔ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)}))
24	23	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵–1-1→𝐵) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
25	22, 1, 24	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
26		cnvimass 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
27	26, 5	fssdm 6725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵)
28	12, 3	ressbas2 17304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
30	7	lvecgrpd 21240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
31	30	grpmndd 19019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
32	3, 11	mndidcl 18813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Mnd → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
34	11, 11	ghmid 19298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
35	22, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
36		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ V
37	36	snid 4627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ {(0g‘𝐸)}
38	35, 37	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) ∈ {(0g‘𝐸)})
39	6, 33, 38	elpreimad 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
40	12, 3, 11	ress0g 18826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
41	31, 39, 27, 40	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
42	41	sneqd 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
43	25, 29, 42	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
44		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))
45	44	lvecdim0 34006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}))
46	45	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
47	21, 43, 46	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
48	47	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
49	13, 17	lsslvec 21241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
50	7, 10, 49	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
51		dimcl 34002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52		xnn0xr 12588	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53		xaddlid 13274	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
54	50, 51, 52, 53	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
55	15, 48, 54	3eqtrrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
56	3, 7, 8, 10, 55	dimlssid 34031	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57		df-fo 6542	. . 3 ⊢ (𝑈:𝐵–onto→𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
58	6, 56, 57	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–onto→𝐵)
59		df-f1o 6543	. 2 ⊢ (𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ∧ 𝑈:𝐵–onto→𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ^◡ccnv 5659  ran crn 5661   “ cima 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℝ^*cxr 11248  ℕ₀cn0 12510  ℕ₀^*cxnn0 12583   +_𝑒 cxad 13141  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  0_gc0g 17498  Mndcmnd 18798   GrpHom cghm 19289  LSubSpclss 21063   LMHom clmhm 21151  LVecclvec 21234  dimcldim 33998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-r1 9734  df-rank 9735  df-scott 9856  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-xadd 13144  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ocomp 17337  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-mri 17646  df-acs 17647  df-proset 18356  df-drs 18357  df-poset 18375  df-ipo 18590  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-nzr 20621  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lmhm 21154  df-lmim 21155  df-lbs 21207  df-lvec 21235  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-uvc 21944  df-lindf 21967  df-linds 21968  df-dim 33999

This theorem is used by:  assalactf1o  34034