Theorem lvecendof1f1o 33874

Description: If an endomorphism 𝑈 of a vector space 𝐸 of finite dimension is injective, then it is bijective. Item (b) of Corollary of Proposition 9 in [BourbakiAlg1] p. 298 . (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecendof1f1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
lvecendof1f1o.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
lvecendof1f1o.d	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
lvecendof1f1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
lvecendof1f1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lvecendof1f1o	⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem lvecendof1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecendof1f1o.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1→𝐵)
2		lvecendof1f1o.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸))
3		lvecendof1f1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4	3, 3	lmhmf 21070	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵⟶𝐵)
6	5	ffnd 6677	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn 𝐵)
7		lvecendof1f1o.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
8		lvecendof1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
9		lmhmrnlss 21086	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
10	2, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸))
11		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) = (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
13		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s ran 𝑈) = (𝐸 ↾s ran 𝑈)
14	11, 12, 13	dimkerim 33868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸)) → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
15	7, 2, 14	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
16		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})
17		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
18	16, 11, 17	lmhmkerlss 21087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 LMHom 𝐸) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸))
20	12, 17	lsslvec 21145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
21	7, 19, 20	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec)
22	2	lmhmghmd 33165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸))
23	3, 3, 11, 11	kerf1ghm 19259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ↔ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)}))
24	23	biimpa 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) ∧ 𝑈:𝐵–1-1→𝐵) → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
25	22, 1, 24	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = {(0g‘𝐸)})
26		cnvimass 6057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ dom 𝑈
27	26, 5	fssdm 6696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵)
28	12, 3	ressbas2 17246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) = (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
30	7	lvecgrpd 21144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
31	30	grpmndd 18960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
32	3, 11	mndidcl 18755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Mnd → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ 𝐵)
34	11, 11	ghmid 19234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐸 GrpHom 𝐸) → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) = (0g‘𝐸))
36		fvex 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ V
37	36	snid 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) ∈ {(0g‘𝐸)}
38	35, 37	eqeltrdi 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(0g‘𝐸)) ∈ {(0g‘𝐸)})
39	6, 33, 38	elpreimad 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))
40	12, 3, 11	ress0g 18768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ∧ (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}) ⊆ 𝐵) → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
41	31, 39, 27, 40	syl3anc 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))))
42	41	sneqd 4584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
43	25, 29, 42	3eqtr3d 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))})
44		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = (0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))
45	44	lvecdim0 33848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0 ↔ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}))
46	45	biimpar 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})) ∈ LVec ∧ (Base‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = {(0g‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)})))}) → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
47	21, 43, 46	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) = 0)
48	47	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dim‘(𝐸 ↾s (◡𝑈 “ {(0g‘𝐸)}))) +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))))
49	13, 17	lsslvec 21145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
50	7, 10, 49	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec)
51		dimcl 33844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ↾s ran 𝑈) ∈ LVec → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0*)
52		xnn0xr 12545	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℕ0* → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ*)
53		xaddlid 13231	. . . . . 6 ⊢ ((dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
54	50, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈))) = (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)))
55	15, 48, 54	3eqtrrd 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s ran 𝑈)) = (dim‘𝐸))
56	3, 7, 8, 10, 55	dimlssid 33873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑈 = 𝐵)
57		df-fo 6512	. . 3 ⊢ (𝑈:𝐵–onto→𝐵 ↔ (𝑈 Fn 𝐵 ∧ ran 𝑈 = 𝐵))
58	6, 56, 57	sylanbrc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–onto→𝐵)
59		df-f1o 6513	. 2 ⊢ (𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝑈:𝐵–1-1→𝐵 ∧ 𝑈:𝐵–onto→𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 591	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  {csn 4572  ^◡ccnv 5635  ran crn 5637   “ cima 5639   Fn wfn 6501  ⟶wf 6502  –1-1→wf1 6503  –onto→wfo 6504  –1-1-onto→wf1o 6505  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  ℝ^*cxr 11201  ℕ₀cn0 12467  ℕ₀^*cxnn0 12540   +_𝑒 cxad 13098  Basecbs 17217   ↾_s cress 17238  0_gc0g 17440  Mndcmnd 18740   GrpHom cghm 19225  LSubSpclss 20967   LMHom clmhm 21055  LVecclvec 21138  dimcldim 33840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-reg 9526  ax-inf2 9582  ax-ac2 10406  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-rpss 7691  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-r1 9708  df-rank 9709  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10058  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-xadd 13101  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ocomp 17279  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-mri 17588  df-acs 17589  df-proset 18298  df-drs 18299  df-poset 18317  df-ipo 18532  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20531  df-subrg 20588  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lmhm 21058  df-lmim 21059  df-lbs 21111  df-lvec 21139  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-uvc 21804  df-lindf 21827  df-linds 21828  df-dim 33841

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33876