Theorem usgr2trlncrct 30395

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is not a circuit. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlncrct	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlncrct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 30346	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		crctprop 30379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
4		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
5	4	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
6	5	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
7	3, 6	simpl2im 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
8	7	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
9	8	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
10	9	necon3ad 2968	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
11	2, 10	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
12	11	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  0cc0 11200  2c2 12397  ♯chash 14474  USGraphcusgr 29730  Trailsctrls 30273  Circuitsccrcts 30371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-upgr 29660  df-uspgr 29731  df-usgr 29732  df-wlks 30180  df-trls 30275  df-crcts 30373

This theorem is used by: (None)