Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2trlncrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2trlncrct 27571
 Description: In a simple graph, any trail of length 2 is not a circuit. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlncrct ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlncrct
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 27528 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
21imp 410 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3 crctprop 27560 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
4 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
54eqeq2d 2832 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
65biimpcd 252 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
73, 6simpl2im 507 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
87com12 32 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
98ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
109necon3ad 3020 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
112, 10mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
1211ex 416 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  0cc0 10514  2c2 11670  ♯chash 13674  USGraphcusgr 26921  Trailsctrls 27459  Circuitsccrcts 27552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-edg 26820  df-uhgr 26830  df-upgr 26854  df-uspgr 26922  df-usgr 26923  df-wlks 27368  df-trls 27461  df-crcts 27554 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator