Theorem usgr2trlncrct 28180

Description: In a simple graph, any trail of length 2 is not a circuit. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2trlncrct	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlncrct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2trlncl 28137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2	1	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3		crctprop 28169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
4		fveq2 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
5	4	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
6	5	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
7	3, 6	simpl2im 504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
8	7	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
9	8	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
10	9	necon3ad 2958	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
11	2, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
12	11	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  0cc0 10882  2c2 12039  ♯chash 14055  USGraphcusgr 27530  Trailsctrls 28068  Circuitsccrcts 28161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-dju 9670  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-hash 14056  df-word 14229  df-edg 27429  df-uhgr 27439  df-upgr 27463  df-uspgr 27531  df-usgr 27532  df-wlks 27977  df-trls 28070  df-crcts 28163

This theorem is referenced by: (None)