MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2trlncrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2trlncrct 28180
Description: In a simple graph, any trail of length 2 is not a circuit. (Contributed by AV, 5-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2trlncrct ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem usgr2trlncrct
StepHypRef Expression
1 usgr2trlncl 28137 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
21imp 407 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
3 crctprop 28169 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
4 fveq2 6771 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
54eqeq2d 2751 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
65biimpcd 248 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
73, 6simpl2im 504 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
87com12 32 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 2 → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
98ad2antlr 724 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
109necon3ad 2958 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
112, 10mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
1211ex 413 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945   class class class wbr 5079  cfv 6432  0cc0 10882  2c2 12039  chash 14055  USGraphcusgr 27530  Trailsctrls 28068  Circuitsccrcts 28161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-dju 9670  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-hash 14056  df-word 14229  df-edg 27429  df-uhgr 27439  df-upgr 27463  df-uspgr 27531  df-usgr 27532  df-wlks 27977  df-trls 28070  df-crcts 28163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator