Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3uz 44750
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3uz.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3uz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupre3uz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupre3uz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3uz (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯   𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3uz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2901 . . 3 Ⅎ𝑙𝐹
2 limsupre3uz.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupre3uz.3 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 limsupre3uz.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
51, 2, 3, 4limsupre3uzlem 44749 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)))
6 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
76rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
87ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
9 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
109rexeqdv 3324 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
11 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗π‘₯
12 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 ≀
13 limsupre3uz.1 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐹
14 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑙
1513, 14nffv 6900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
1611, 12, 15nfbr 5194 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
17 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
18 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
1918breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2016, 17, 19cbvrexw 3302 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2210, 21bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2322cbvralvw 3232 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
258, 24bitrd 278 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2625cbvrexvw 3233 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
27 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
2827ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
2928rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
309raleqdv 3323 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
3115, 12, 11nfbr 5194 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
32 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
3318breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3431, 32, 33cbvralw 3301 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3630, 35bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3736cbvrexvw 3233 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3929, 38bitrd 278 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4039cbvrexvw 3233 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4126, 40anbi12i 625 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4241a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
435, 42bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  lim supclsp 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13334  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-limsup 15419
This theorem is referenced by:  limsupvaluz2  44752  supcnvlimsup  44754
  Copyright terms: Public domain W3C validator