Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupreuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupreuz 44131
Description: Given a function on the reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupreuz.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupreuz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupreuz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupreuz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
limsupreuz (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupreuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . . 4 Ⅎ𝑙𝐹
2 limsupreuz.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupreuz.3 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 limsupreuz.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
54frexr 43773 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
61, 2, 3, 5limsupre3uzlem 44129 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)))
7 breq1 5128 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
87rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
98ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
10 fveq2 6862 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
1110rexeqdv 3325 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
12 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗π‘₯
13 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 ≀
14 limsupreuz.1 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗𝐹
15 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗𝑙
1614, 15nffv 6872 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
1712, 13, 16nfbr 5172 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
18 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑙 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
19 fveq2 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
2019breq2d 5137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2117, 18, 20cbvrexw 3301 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2311, 22bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2423cbvralvw 3233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
269, 25bitrd 278 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2726cbvrexvw 3234 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
28 breq2 5129 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
2928ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
3029rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
3110raleqdv 3324 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
3216, 13, 12nfbr 5172 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
33 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
3419breq1d 5135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3532, 33, 34cbvralw 3300 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3731, 36bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3837cbvrexvw 3234 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4030, 39bitrd 278 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4140cbvrexvw 3234 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4227, 41anbi12i 627 . . . 4 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4342a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
446, 43bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
45 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
46 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝑖
4714, 46nffv 6872 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘–)
4847, 13, 12nfbr 5172 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯
49 fveq2 6862 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘–))
5049breq1d 5135 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯))
5145, 48, 50cbvralw 3300 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)
5251rexbii 3093 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)
5352rexbii 3093 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯))
55 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
564adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
57 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
5856, 57ffvelcdmd 7056 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
5955, 2, 3, 58uzub 43819 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯))
60 eqcom 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 ↔ 𝑖 = 𝑗)
6160imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)) ↔ (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)))
62 bicom 221 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
6362imbi2i 335 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)) ↔ (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
6461, 63bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯)) ↔ (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
6550, 64mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
6648, 45, 65cbvralw 3300 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
6766rexbii 3093 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
6867a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
6954, 59, 683bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7069anbi2d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
7144, 70bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2882  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5125  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  β„cr 11074   ≀ cle 11214  β„€cz 12523  β„€β‰₯cuz 12787  lim supclsp 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-ico 13295  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-ceil 13723  df-limsup 15380
This theorem is referenced by:  limsupreuzmpt  44133  limsupgtlem  44171
  Copyright terms: Public domain W3C validator