Theorem lmat22e11 33476

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e11	⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Proof of Theorem lmat22e11

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14872	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 33475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		2eluzge1 12908	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		eluzfz1 13540	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...2))
18	1, 3, 10, 12, 13, 17, 17	lmatfval 33472	. 2 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)))
19		1m1e0 12314	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
20	19	fveq2i 6895	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0)
21		s2fv0 14870	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
23	20, 22	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
24	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
25	23, 24	fveq12d 6899	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0))
26		s2fv0 14870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
27	4, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   − cmin 11474  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13516  ♯chash 14321  Word cword 14496  ⟨“cs2 14824  litMatclmat 33469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-lmat 33470

This theorem is referenced by:  lmat22det  33480