Theorem lmat22e11 31768

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e11	⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Proof of Theorem lmat22e11

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12046	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14602	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 31767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		2eluzge1 12634	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		eluzfz1 13263	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...2))
18	1, 3, 10, 12, 13, 17, 17	lmatfval 31764	. 2 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)))
19		1m1e0 12045	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
20	19	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0)
21		s2fv0 14600	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
23	20, 22	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
24	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
25	23, 24	fveq12d 6781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0))
26		s2fv0 14600	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
27	4, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ♯chash 14044  Word cword 14217  ⟨“cs2 14554  litMatclmat 31761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-lmat 31762

This theorem is referenced by:  lmat22det  31772