Theorem lmat22e11 33452

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e11	⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Proof of Theorem lmat22e11

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12323	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14880	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 33451	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		2eluzge1 12916	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		eluzfz1 13548	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...2))
18	1, 3, 10, 12, 13, 17, 17	lmatfval 33448	. 2 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)))
19		1m1e0 12322	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
20	19	fveq2i 6905	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0)
21		s2fv0 14878	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
22	6, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
23	20, 22	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
24	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
25	23, 24	fveq12d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0))
26		s2fv0 14878	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
27	4, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   − cmin 11482  ℕcn 12250  2c2 12305  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  ♯chash 14329  Word cword 14504  ⟨“cs2 14832  litMatclmat 33445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-lmat 33446

This theorem is referenced by:  lmat22det  33456