Theorem lmat22e11 34239

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e11	⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Proof of Theorem lmat22e11

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12332	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14952	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 34238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		2eluzge1 12924	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		eluzfz1 13577	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...2))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1...2)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...2))
18	1, 3, 10, 12, 13, 17, 17	lmatfval 34235	. 2 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)))
19		1m1e0 12331	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
20	19	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0)
21		s2fv0 14950	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
22	6, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
23	20, 22	eqtrid 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
24	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
25	23, 24	fveq12d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0))
26		s2fv0 14950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
27	4, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ♯chash 14386  Word cword 14570  ⟨“cs2 14904  litMatclmat 34232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-lmat 34233

This theorem is used by:  lmat22det  34243