Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 33821
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
lmat22det.t · = (.r𝑅)
lmat22det.s = (-g𝑅)
lmat22det.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3 2nn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 lmat22.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
75, 6s2cld 14910 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
108, 9s2cld 14910 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 14910 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 14928 . . . . 5 (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 33816 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2737 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2737 . . . 4 (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 33815 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzval3 13773 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 12408 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 7442 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 13788 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2769 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 = (-g𝑅)
28 lmat22det.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 22637 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 33817 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 33820 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 33819 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 33818 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
3634, 35oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
3733, 36oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
3830, 37eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs2 14880  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  -gcsg 18953  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411   maDet cmdat 22590  litMatclmat 33810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mdet 22591  df-lmat 33811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator