Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 31155
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
lmat22det.t · = (.r𝑅)
lmat22det.s = (-g𝑅)
lmat22det.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3 2nn 11709 . . . . 5 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 lmat22.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
75, 6s2cld 14235 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
108, 9s2cld 14235 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 14235 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 14253 . . . . 5 (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 31150 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2824 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2824 . . . 4 (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 31149 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 12013 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzval3 13112 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 11778 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 7162 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 13127 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2851 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 = (-g𝑅)
28 lmat22det.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 21245 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 31151 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 31154 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 31153 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 31152 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
3634, 35oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
3733, 36oveq12d 7169 . 2 (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
3830, 37eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  {cpr 4552  cfv 6345  (class class class)co 7151  1c1 10538   + caddc 10540  cn 11636  2c2 11691  3c3 11692  cz 11980  ...cfz 12896  ..^cfzo 13039  chash 13697  Word cword 13868  ⟨“cs2 14205  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  -gcsg 18107  Ringcrg 19299   Mat cmat 21021   maDet cmdat 21198  litMatclmat 31144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-fac 13641  df-bc 13670  df-hash 13698  df-word 13869  df-lsw 13917  df-concat 13925  df-s1 13952  df-substr 14005  df-pfx 14035  df-splice 14114  df-reverse 14123  df-s2 14212  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-efmnd 18036  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-gim 18401  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-symg 18498  df-pmtr 18572  df-psgn 18621  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-rnghom 19472  df-subrg 19535  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-cnfld 20101  df-zring 20173  df-zrh 20206  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-mat 21022  df-mdet 21199  df-lmat 31145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator