Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 32460
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lmat22det.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
lmat22det.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
3 2nn 12231 . . . . 5 2 ∈ β„•
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5 lmat22.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6s2cld 14766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
108, 9s2cld 14766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 14766 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 14784 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 32455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
16 eqid 2733 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 32454 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 12540 . . . . . 6 2 ∈ β„€
20 fzval3 13647 . . . . . 6 (2 ∈ β„€ β†’ (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 12300 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 7369 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 13662 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2765 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
28 lmat22det.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 21996 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅))) β†’ (π½β€˜π‘€) = (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 32456 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 32459 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) = (𝐴 Β· 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 32458 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2𝑀1) = 𝐢)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 32457 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1𝑀2) = 𝐡)
3634, 35oveq12d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2)) = (𝐢 Β· 𝐡))
3733, 36oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))
3830, 37eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059  β„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  β„€cz 12504  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs2 14736  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  -gcsg 18755  Ringcrg 19969   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949  litMatclmat 32449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-word 14409  df-lsw 14457  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-reverse 14653  df-s2 14743  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-efmnd 18684  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-symg 19154  df-pmtr 19229  df-psgn 19278  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771  df-mdet 21950  df-lmat 32450
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator