Theorem lmat22det 34157

Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lmat22det.s	⊢ − = (-g‘𝑅)
lmat22det.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j	⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
lmat22det	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22det.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lmat22.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3		2nn 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		lmat22.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		lmat22.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	5, 6	s2cld 14908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8		lmat22.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		lmat22.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10	8, 9	s2cld 14908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
11	7, 10	s2cld 14908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12		s2len 14926	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
14	2, 5, 6, 8, 9	lmat22lem 34152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15		lmat22det.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
18	2, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1	lmatcl 34151	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19		2z 12626	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzval3 13763	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
22		2p1e3 12382	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24		fzo13pr 13778	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
25	21, 23, 24	3eqtri 2796	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
26		lmat22det.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27		lmat22det.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
28		lmat22det.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	25, 26, 16, 17, 27, 28	m2detleib 22757	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
30	1, 18, 29	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
31	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e11 34153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
32	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e22 34156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
33	31, 32	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
34	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e21 34155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
35	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e12 34154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
36	34, 35	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
37	33, 36	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cpr 4596  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  ⟨“cs2 14878  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  -_gcsg 19002  Ringcrg 20315   Mat cmat 22533   maDet cmdat 22710  litMatclmat 34146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14787  df-reverse 14796  df-s2 14885  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-efmnd 18928  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-symg 19440  df-pmtr 19512  df-psgn 19561  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-mat 22534  df-mdet 22711  df-lmat 34147

This theorem is referenced by: (None)