Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 30429
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
lmat22det.t · = (.r𝑅)
lmat22det.s = (-g𝑅)
lmat22det.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3 2nn 11431 . . . . 5 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 lmat22.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
75, 6s2cld 13999 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
108, 9s2cld 13999 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 13999 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 14017 . . . . 5 (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 30424 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2825 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2825 . . . 4 (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 30423 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 11744 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzval3 12839 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 11507 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 6921 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 12854 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2853 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 = (-g𝑅)
28 lmat22det.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 20812 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 30425 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 30428 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 6928 . . 3 (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 30427 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 30426 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
3634, 35oveq12d 6928 . . 3 (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
3733, 36oveq12d 6928 . 2 (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
3830, 37eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  {cpr 4401  cfv 6127  (class class class)co 6910  1c1 10260   + caddc 10262  cn 11357  2c2 11413  3c3 11414  cz 11711  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767  chash 13417  Word cword 13581  ⟨“cs2 13969  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  -gcsg 17785  Ringcrg 18908   Mat cmat 20587   maDet cmdat 20765  litMatclmat 30418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-xor 1638  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708  df-pfx 13757  df-splice 13864  df-reverse 13882  df-s2 13976  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-gim 18059  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-symg 18155  df-pmtr 18219  df-psgn 18268  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-mat 20588  df-mdet 20766  df-lmat 30419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator