Theorem lmat22det 32797

Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lmat22det.s	⊢ − = (-g‘𝑅)
lmat22det.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j	⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
lmat22det	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22det.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lmat22.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3		2nn 12284	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		lmat22.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		lmat22.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	5, 6	s2cld 14821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8		lmat22.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		lmat22.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10	8, 9	s2cld 14821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
11	7, 10	s2cld 14821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12		s2len 14839	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
14	2, 5, 6, 8, 9	lmat22lem 32792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15		lmat22det.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
16		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
18	2, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1	lmatcl 32791	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19		2z 12593	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzval3 13700	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
22		2p1e3 12353	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24		fzo13pr 13715	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
25	21, 23, 24	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
26		lmat22det.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27		lmat22det.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
28		lmat22det.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	25, 26, 16, 17, 27, 28	m2detleib 22132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
30	1, 18, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
31	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e11 32793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
32	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e22 32796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
33	31, 32	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
34	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e21 32795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
35	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e12 32794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
36	34, 35	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
37	33, 36	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cpr 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  ℤcz 12557  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Word cword 14463  ⟨“cs2 14791  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  -_gcsg 18820  Ringcrg 20055   Mat cmat 21906   maDet cmdat 22085  litMatclmat 32786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mat 21907  df-mdet 22086  df-lmat 32787

This theorem is referenced by: (None)