Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 33480
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lmat22det.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
lmat22det.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
3 2nn 12315 . . . . 5 2 ∈ β„•
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5 lmat22.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6s2cld 14854 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
108, 9s2cld 14854 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 14854 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 14872 . . . . 5 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 33475 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
16 eqid 2725 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 33474 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 12624 . . . . . 6 2 ∈ β„€
20 fzval3 13733 . . . . . 6 (2 ∈ β„€ β†’ (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 12384 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 7427 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 13748 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2757 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
28 lmat22det.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 22551 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜((1...2) Mat 𝑅))) β†’ (π½β€˜π‘€) = (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 33476 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 33479 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) = (𝐴 Β· 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 33478 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2𝑀1) = 𝐢)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 33477 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1𝑀2) = 𝐡)
3634, 35oveq12d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2)) = (𝐢 Β· 𝐡))
3733, 36oveq12d 7434 . 2 (πœ‘ β†’ (((1𝑀1) Β· (2𝑀2)) βˆ’ ((2𝑀1) Β· (1𝑀2))) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))
3830, 37eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘€) = ((𝐴 Β· 𝐷) βˆ’ (𝐢 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4626  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141  β„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  β„€cz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496  βŸ¨β€œcs2 14824  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  -gcsg 18896  Ringcrg 20177   Mat cmat 22325   maDet cmdat 22504  litMatclmat 33469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-efmnd 18825  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-symg 19326  df-pmtr 19401  df-psgn 19450  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mat 22326  df-mdet 22505  df-lmat 33470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator