Theorem lmat22det 33332

Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lmat22det.s	⊢ − = (-g‘𝑅)
lmat22det.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j	⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
lmat22det	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22det.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lmat22.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3		2nn 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		lmat22.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		lmat22.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	5, 6	s2cld 14828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8		lmat22.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		lmat22.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10	8, 9	s2cld 14828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
11	7, 10	s2cld 14828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12		s2len 14846	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
14	2, 5, 6, 8, 9	lmat22lem 33327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15		lmat22det.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
18	2, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1	lmatcl 33326	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19		2z 12598	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzval3 13707	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
22		2p1e3 12358	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24		fzo13pr 13722	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
25	21, 23, 24	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
26		lmat22det.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27		lmat22det.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
28		lmat22det.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	25, 26, 16, 17, 27, 28	m2detleib 22488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
30	1, 18, 29	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
31	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e11 33328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
32	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e22 33331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
33	31, 32	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
34	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e21 33330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
35	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e12 33329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
36	34, 35	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
37	33, 36	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4625  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  ℤcz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  ♯chash 14295  Word cword 14470  ⟨“cs2 14798  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  -_gcsg 18865  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441  litMatclmat 33321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-mdet 22442  df-lmat 33322

This theorem is referenced by: (None)