Theorem lmat22det 34507

Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lmat22det.s	⊢ − = (-g‘𝑅)
lmat22det.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j	⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
lmat22det	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22det.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lmat22.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3		2nn 12426	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		lmat22.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		lmat22.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	5, 6	s2cld 15033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8		lmat22.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		lmat22.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10	8, 9	s2cld 15033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
11	7, 10	s2cld 15033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12		s2len 15051	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
14	2, 5, 6, 8, 9	lmat22lem 34502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15		lmat22det.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
18	2, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1	lmatcl 34501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19		2z 12738	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzval3 13879	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
22		2p1e3 12494	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq2i 7438	. . . . 5 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24		fzo13pr 13894	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
25	21, 23, 24	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
26		lmat22det.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27		lmat22det.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
28		lmat22det.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	25, 26, 16, 17, 27, 28	m2detleib 22958	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
30	1, 18, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
31	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e11 34503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
32	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e22 34506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
33	31, 32	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
34	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e21 34505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
35	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e12 34504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
36	34, 35	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
37	33, 36	oveq12d 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cpr 4589  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1c1 11211   + caddc 11213  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  ℤcz 12703  ...cfz 13649  ..^cfzo 13798  ♯chash 14484  Word cword 14668  ⟨“cs2 15003  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  -_gcsg 19158  Ringcrg 20471   Mat cmat 22734   maDet cmdat 22911  litMatclmat 34496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-word 14669  df-lsw 14718  df-concat 14726  df-s1 14753  df-substr 14800  df-pfx 14832  df-splice 14910  df-reverse 14919  df-s2 15010  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-efmnd 19077  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-gim 19485  df-cntz 19543  df-oppg 19572  df-symg 19596  df-pmtr 19668  df-psgn 19717  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-mat 22735  df-mdet 22912  df-lmat 34497

This theorem is used by: (None)