Theorem lmat22det 33966

Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
lmat22det.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lmat22det.s	⊢ − = (-g‘𝑅)
lmat22det.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j	⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
lmat22det	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22det.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		lmat22.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3		2nn 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		lmat22.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		lmat22.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	5, 6	s2cld 14833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8		lmat22.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		lmat22.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10	8, 9	s2cld 14833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
11	7, 10	s2cld 14833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12		s2len 14851	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
14	2, 5, 6, 8, 9	lmat22lem 33961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15		lmat22det.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
18	2, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1	lmatcl 33960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19		2z 12559	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzval3 13689	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
22		2p1e3 12318	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
23	22	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24		fzo13pr 13704	. . . . 5 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
25	21, 23, 24	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
26		lmat22det.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27		lmat22det.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
28		lmat22det.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	25, 26, 16, 17, 27, 28	m2detleib 22596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
30	1, 18, 29	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
31	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e11 33962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
32	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e22 33965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
33	31, 32	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
34	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e21 33964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
35	2, 5, 6, 8, 9	lmat22e12 33963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
36	34, 35	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
37	33, 36	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))
38	30, 37	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs2 14803  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  -_gcsg 18911  Ringcrg 20214   Mat cmat 22372   maDet cmdat 22549  litMatclmat 33955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417  df-psgn 19466  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mat 22373  df-mdet 22550  df-lmat 33956

This theorem is referenced by: (None)