Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22e12 33477
Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22e12 (πœ‘ β†’ (1𝑀2) = 𝐡)

Proof of Theorem lmat22e12
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22.m . 2 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
2 2nn 12315 . . 3 2 ∈ β„•
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
4 lmat22.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 lmat22.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
64, 5s2cld 14854 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
7 lmat22.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8 lmat22.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
97, 8s2cld 14854 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
106, 9s2cld 14854 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word Word 𝑉)
11 s2len 14872 . . 3 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2)
131, 4, 5, 7, 8lmat22lem 33475 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 0nn0 12517 . 2 0 ∈ β„•0
15 1nn0 12518 . 2 1 ∈ β„•0
16 1le2 12451 . 2 1 ≀ 2
172nnrei 12251 . . 3 2 ∈ ℝ
1817leidi 11778 . 2 2 ≀ 2
19 0p1e1 12364 . 2 (0 + 1) = 1
20 1p1e2 12367 . 2 (1 + 1) = 2
21 s2cli 14863 . . 3 βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word V
22 s2fv0 14870 . . 3 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
2321, 22ax-mp 5 . 2 (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©
24 s2fv1 14871 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
255, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©β€˜1) = 𝐡)
261, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 23, 25lmatfvlem 33473 1 (πœ‘ β†’ (1𝑀2) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139  β„•cn 12242  2c2 12297  β™―chash 14321  Word cword 14496  βŸ¨β€œcs2 14824  litMatclmat 33469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-lmat 33470
This theorem is referenced by:  lmat22det  33480
  Copyright terms: Public domain W3C validator