Theorem lmatfval 31336

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 31335	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	syl5eq 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	fvoveq1d 7192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
9	8	oveq1d 7185	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
10	7, 9	fveq12d 6681	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
12		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	oveq2d 7186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
14	11, 13	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
16		1m1e0 11788	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
17		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		nnuz 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22		fz1fzo0m1 13176	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	16, 23	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
26	25	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
27	25	fveq2d 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
28	27	fveqeq2d 6682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
29	26, 28	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
31	30	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
32	24, 29, 31	vtocld 3459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
33	24, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
34	33	oveq2d 7186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
35	15, 34	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36		fz1fzo0m1 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	11, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38	12	oveq2d 7186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	37, 38	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40		wrdsymbcl 13968	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41	2, 39, 40	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42		fz1fzo0m1 13176	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43	15, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
45	44	eleq1d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
46	44	fveq2d 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
47	46	fveqeq2d 6682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
48	45, 47	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
49	37, 48, 31	vtocld 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
50	37, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
51	50	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
52	43, 51	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53		wrdsymbcl 13968	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
54	41, 52, 53	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
55	5, 10, 14, 35, 54	ovmpod 7317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ∈ cmpo 7172  0cc0 10615  1c1 10616   − cmin 10948  ℕcn 11716  ℤ_≥cuz 12324  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  ♯chash 13782  Word cword 13955  litMatclmat 31333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-lmat 31334

This theorem is referenced by:  lmatfvlem  31337  lmat22e11  31340