Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfval 32452
Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
lmatfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
lmatfval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
lmatfval.2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
lmatfval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
lmatfval (πœ‘ β†’ (𝐼𝑀𝐽) = ((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))β€˜(𝐽 βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,π‘Š   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMatβ€˜π‘Š)
2 lmatfval.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 32451 . . . 4 (π‘Š ∈ Word Word 𝑉 β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (𝑖 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (litMatβ€˜π‘Š) = (𝑖 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
51, 4eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)), 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) ↦ ((π‘Šβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
6 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) β†’ 𝑖 = 𝐼)
76fvoveq1d 7380 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
8 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) β†’ 𝑗 = 𝐽)
98oveq1d 7373 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) = (𝐽 βˆ’ 1))
107, 9fveq12d 6850 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) β†’ ((π‘Šβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))β€˜(𝐽 βˆ’ 1)))
11 lmatfval.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑁))
12 lmatfval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
1312oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜π‘Š)) = (1...𝑁))
1411, 13eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
15 lmatfval.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (1...𝑁))
16 1m1e0 12230 . . . . . 6 (1 βˆ’ 1) = 0
17 lmatfval.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
18 nnuz 12811 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1917, 18eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
20 eluzfz1 13454 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
22 fz1fzo0m1 13626 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑁) β†’ (1 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
2416, 23eqeltrrid 2839 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
25 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
2625eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
2725fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜0))
2827fveqeq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
2926, 28imbi12d 345 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)))
30 lmatfval.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁)
3130ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁))
3224, 29, 31vtocld 3510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁))
3324, 32mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜0)) = 𝑁)
3433oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))) = (1...𝑁))
3515, 34eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (1...(β™―β€˜(π‘Šβ€˜0))))
36 fz1fzo0m1 13626 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3711, 36syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
3812oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑁))
3937, 38eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
40 wrdsymbcl 14421 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
412, 39, 40syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
42 fz1fzo0m1 13626 . . . . 5 (𝐽 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
4315, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
44 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1))
4544eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
4644fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
4746fveqeq2d 6851 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = 𝑁))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = 𝑁)))
4937, 48, 31vtocld 3510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = 𝑁))
5037, 49mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = 𝑁)
5150oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) = (0..^𝑁))
5243, 51eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
53 wrdsymbcl 14421 . . 3 (((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜(π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
5441, 52, 53syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
555, 10, 14, 35, 54ovmpod 7508 1 (πœ‘ β†’ (𝐼𝑀𝐽) = ((π‘Šβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))β€˜(𝐽 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11056  1c1 11057   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  litMatclmat 32449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-lmat 32450
This theorem is referenced by:  lmatfvlem  32453  lmat22e11  32456
  Copyright terms: Public domain W3C validator