Theorem lmatfval 33351

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 33350	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	fvoveq1d 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
9	8	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
10	7, 9	fveq12d 6898	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
12		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
14	11, 13	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
16		1m1e0 12306	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
17		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		nnuz 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22		fz1fzo0m1 13704	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	16, 23	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
27	25	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
28	27	fveqeq2d 6899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
29	26, 28	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
31	30	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
32	24, 29, 31	vtocld 3543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
33	24, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
34	33	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
35	15, 34	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36		fz1fzo0m1 13704	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	11, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38	12	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	37, 38	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40		wrdsymbcl 14501	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41	2, 39, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42		fz1fzo0m1 13704	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43	15, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
45	44	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
46	44	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
47	46	fveqeq2d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
49	37, 48, 31	vtocld 3543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
50	37, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
51	50	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
52	43, 51	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53		wrdsymbcl 14501	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
54	41, 52, 53	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
55	5, 10, 14, 35, 54	ovmpod 7567	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131   − cmin 11466  ℕcn 12234  ℤ_≥cuz 12844  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313  Word cword 14488  litMatclmat 33348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lmat 33349

This theorem is referenced by:  lmatfvlem  33352  lmat22e11  33355