Theorem lmatfval 33974

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 33973	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	fvoveq1d 7382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
9	8	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
10	7, 9	fveq12d 6841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
12		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
14	11, 13	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
16		1m1e0 12244	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
17		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		nnuz 12818	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22		fz1fzo0m1 13656	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	16, 23	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
26	25	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
27	25	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
28	27	fveqeq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
29	26, 28	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
31	30	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
32	24, 29, 31	vtocld 3507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
33	24, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
34	33	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
35	15, 34	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36		fz1fzo0m1 13656	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	11, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38	12	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	37, 38	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40		wrdsymbcl 14480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41	2, 39, 40	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42		fz1fzo0m1 13656	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43	15, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
45	44	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
46	44	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
47	46	fveqeq2d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
49	37, 48, 31	vtocld 3507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
50	37, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
51	50	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
52	43, 51	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53		wrdsymbcl 14480	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
54	41, 52, 53	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
55	5, 10, 14, 35, 54	ovmpod 7512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  0cc0 11029  1c1 11030   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  litMatclmat 33971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lmat 33972

This theorem is referenced by:  lmatfvlem  33975  lmat22e11  33978