Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfval 33351
Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
lmatfval (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 33350 . . . 4 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4eqtrid 2779 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
76fvoveq1d 7436 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
98oveq1d 7429 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
107, 9fveq12d 6898 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11 lmatfval.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
12 lmatfval.1 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1312oveq2d 7430 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
1411, 13eleqtrrd 2831 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15 lmatfval.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
16 1m1e0 12306 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
17 lmatfval.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 nnuz 12887 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18eleqtrdi 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
20 eluzfz1 13532 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22 fz1fzo0m1 13704 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2416, 23eqeltrrid 2833 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2625eleq1d 2813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
2725fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
2827fveqeq2d 6899 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2926, 28imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30 lmatfval.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
3130ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
3224, 29, 31vtocld 3543 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3324, 32mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
3433oveq2d 7430 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
3515, 34eleqtrrd 2831 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36 fz1fzo0m1 13704 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3711, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3812oveq2d 7430 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3937, 38eleqtrrd 2831 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40 wrdsymbcl 14501 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
412, 39, 40syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42 fz1fzo0m1 13704 . . . . 5 (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4315, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
4544eleq1d 2813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4644fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
4746fveqeq2d 6899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
4937, 48, 31vtocld 3543 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5037, 49mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
5150oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
5243, 51eleqtrrd 2831 . . 3 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53 wrdsymbcl 14501 . . 3 (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
5441, 52, 53syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
555, 10, 14, 35, 54ovmpod 7567 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131  cmin 11466  cn 12234  cuz 12844  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488  litMatclmat 33348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lmat 33349
This theorem is referenced by:  lmatfvlem  33352  lmat22e11  33355
  Copyright terms: Public domain W3C validator