Theorem lmatfval 34332

Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
lmatfval	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3		lmatval 34331	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
5	1, 4	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	fvoveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
9	8	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
10	7, 9	fveq12d 6889	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11		lmatfval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
12		lmatfval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
14	11, 13	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15		lmatfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
16		1m1e0 12341	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
17		lmatfval.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		nnuz 12930	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22		fz1fzo0m1 13770	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
24	16, 23	eqeltrrid 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
26	25	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
27	25	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
28	27	fveqeq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
29	26, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30		lmatfval.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
31	30	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁))
32	24, 29, 31	vtocld 3525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
33	24, 32	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
34	33	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
35	15, 34	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36		fz1fzo0m1 13770	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	11, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38	12	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	37, 38	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40		wrdsymbcl 14596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41	2, 39, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42		fz1fzo0m1 13770	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
43	15, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
45	44	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
46	44	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
47	46	fveqeq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
49	37, 48, 31	vtocld 3525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
50	37, 49	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
51	50	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
52	43, 51	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53		wrdsymbcl 14596	. . 3 ⊢ (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
54	41, 52, 53	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
55	5, 10, 14, 35, 54	ovmpod 7569	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  0cc0 11128  1c1 11129   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582  litMatclmat 34329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-lmat 34330

This theorem is used by:  lmatfvlem  34333  lmat22e11  34336