Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfval 32395
Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
lmatfval (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 32394 . . . 4 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4eqtrid 2788 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(♯‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 simprl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
76fvoveq1d 7379 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
8 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
98oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
107, 9fveq12d 6849 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
11 lmatfval.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
12 lmatfval.1 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1312oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
1411, 13eleqtrrd 2841 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
15 lmatfval.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
16 1m1e0 12225 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
17 lmatfval.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 nnuz 12806 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
20 eluzfz1 13448 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
22 fz1fzo0m1 13620 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2416, 23eqeltrrid 2843 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
25 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2625eleq1d 2822 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
2725fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
2827fveqeq2d 6850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2926, 28imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
30 lmatfval.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
3130ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
3224, 29, 31vtocld 3511 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3324, 32mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
3433oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
3515, 34eleqtrrd 2841 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (1...(♯‘(𝑊‘0))))
36 fz1fzo0m1 13620 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3711, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3812oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3937, 38eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
40 wrdsymbcl 14415 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
412, 39, 40syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
42 fz1fzo0m1 13620 . . . . 5 (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4315, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
4544eleq1d 2822 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4644fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
4746fveqeq2d 6850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
4937, 48, 31vtocld 3511 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5037, 49mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
5150oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
5243, 51eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
53 wrdsymbcl 14415 . . 3 (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
5441, 52, 53syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
555, 10, 14, 35, 54ovmpod 7507 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052  cmin 11385  cn 12153  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402  litMatclmat 32392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-lmat 32393
This theorem is referenced by:  lmatfvlem  32396  lmat22e11  32399
  Copyright terms: Public domain W3C validator