Theorem lmat22lem 33980

Description: Lemma for lmat22e11 33981 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2	1	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0))
3		lmat22.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		lmat22.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	s2cld 14827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
6		s2fv0 14843	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
9	2, 8	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
10	9	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
11		s2len 14845	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
13	12	adantlr 716	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
15	14	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1))
16		lmat22.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		lmat22.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18	16, 17	s2cld 14827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		s2fv1 14844	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
22	15, 21	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	22	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩))
24		s2len 14845	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩) = 2
25	23, 24	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
26	25	adantlr 716	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
27		fzo0to2pr 13699	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
28	27	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑖 ∈ V
30	29	elpr 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
31	28, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
32	31	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
33	32	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
34	13, 26, 33	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033  2c2 12230  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286  Word cword 14469  ⟨“cs2 14797  litMatclmat 33974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-s1 14553  df-s2 14804

This theorem is referenced by:  lmat22e11  33981  lmat22e12  33982  lmat22e21  33983  lmat22e22  33984  lmat22det  33985