Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22lem 33475
Description: Lemma for lmat22e11 33476 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22lem ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
21fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0))
3 lmat22.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 lmat22.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4s2cld 14854 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
6 s2fv0 14870 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
87adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
92, 8eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
109fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))
11 s2len 14872 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1210, 11eqtrdi 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
1312adantlr 713 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ 𝑖 = 1)
1514fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1))
16 lmat22.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
17 lmat22.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1816, 17s2cld 14854 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
19 s2fv1 14871 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2215, 21eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2322fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©))
24 s2len 14872 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©) = 2
2523, 24eqtrdi 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
2625adantlr 713 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
27 fzo0to2pr 13749 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
2827eleq2i 2817 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29 vex 3467 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
3029elpr 4648 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3128, 30bitri 274 . . . 4 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3231biimpi 215 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^2) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3332adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3413, 26, 33mpjaodan 956 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4626  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12297  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496  βŸ¨β€œcs2 14824  litMatclmat 33469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831
This theorem is referenced by:  lmat22e11  33476  lmat22e12  33477  lmat22e21  33478  lmat22e22  33479  lmat22det  33480
  Copyright terms: Public domain W3C validator