Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22lem 32785
Description: Lemma for lmat22e11 32786 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22lem ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
21fveq2d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0))
3 lmat22.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 lmat22.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4s2cld 14818 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
6 s2fv0 14834 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
87adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
92, 8eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
109fveq2d 6892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))
11 s2len 14836 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1210, 11eqtrdi 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
1312adantlr 713 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ 𝑖 = 1)
1514fveq2d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1))
16 lmat22.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
17 lmat22.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1816, 17s2cld 14818 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
19 s2fv1 14835 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2120adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2215, 21eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2322fveq2d 6892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©))
24 s2len 14836 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©) = 2
2523, 24eqtrdi 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
2625adantlr 713 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
27 fzo0to2pr 13713 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
2827eleq2i 2825 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29 vex 3478 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
3029elpr 4650 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3128, 30bitri 274 . . . 4 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3231biimpi 215 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^2) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3332adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3413, 26, 33mpjaodan 957 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12263  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs2 14788  litMatclmat 32779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795
This theorem is referenced by:  lmat22e11  32786  lmat22e12  32787  lmat22e21  32788  lmat22e22  32789  lmat22det  32790
  Copyright terms: Public domain W3C validator