Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22lem 32455
Description: Lemma for lmat22e11 32456 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22lem ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
21fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0))
3 lmat22.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 lmat22.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4s2cld 14766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
6 s2fv0 14782 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
87adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
92, 8eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
109fveq2d 6847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))
11 s2len 14784 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1210, 11eqtrdi 2789 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
1312adantlr 714 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ 𝑖 = 1)
1514fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1))
16 lmat22.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
17 lmat22.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1816, 17s2cld 14766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
19 s2fv1 14783 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2215, 21eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2322fveq2d 6847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©))
24 s2len 14784 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©) = 2
2523, 24eqtrdi 2789 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
2625adantlr 714 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
27 fzo0to2pr 13663 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
2827eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29 vex 3448 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
3029elpr 4610 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3128, 30bitri 275 . . . 4 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3231biimpi 215 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^2) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3332adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3413, 26, 33mpjaodan 958 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  2c2 12213  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs2 14736  litMatclmat 32449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743
This theorem is referenced by:  lmat22e11  32456  lmat22e12  32457  lmat22e21  32458  lmat22e22  32459  lmat22det  32460
  Copyright terms: Public domain W3C validator