Theorem lmat22lem 33974

Description: Lemma for lmat22e11 33975 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2	1	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0))
3		lmat22.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		lmat22.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	s2cld 14794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
6		s2fv0 14810	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
9	2, 8	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
11		s2len 14812	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
13	12	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
15	14	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1))
16		lmat22.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		lmat22.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18	16, 17	s2cld 14794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		s2fv1 14811	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
22	15, 21	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	22	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩))
24		s2len 14812	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩) = 2
25	23, 24	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
26	25	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
27		fzo0to2pr 13666	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
28	27	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑖 ∈ V
30	29	elpr 4605	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
31	28, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
32	31	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
33	32	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
34	13, 26, 33	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  2c2 12200  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  ⟨“cs2 14764  litMatclmat 33968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771

This theorem is referenced by:  lmat22e11  33975  lmat22e12  33976  lmat22e21  33977  lmat22e22  33978  lmat22det  33979