Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22lem 33327
Description: Lemma for lmat22e11 33328 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22lem ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
21fveq2d 6889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0))
3 lmat22.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 lmat22.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4s2cld 14828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
6 s2fv0 14844 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
87adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜0) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
92, 8eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
109fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))
11 s2len 14846 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1210, 11eqtrdi 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
1312adantlr 712 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ 𝑖 = 1)
1514fveq2d 6889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1))
16 lmat22.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
17 lmat22.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1816, 17s2cld 14828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
19 s2fv1 14845 . . . . . . . 8 (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2215, 21eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2322fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©))
24 s2len 14846 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©) = 2
2523, 24eqtrdi 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
2625adantlr 712 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
27 fzo0to2pr 13723 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
2827eleq2i 2819 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29 vex 3472 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
3029elpr 4646 . . . . 5 (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3128, 30bitri 275 . . . 4 (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3231biimpi 215 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^2) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3332adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
3413, 26, 33mpjaodan 955 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  βŸ¨β€œcs2 14798  litMatclmat 33321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805
This theorem is referenced by:  lmat22e11  33328  lmat22e12  33329  lmat22e21  33330  lmat22e22  33331  lmat22det  33332
  Copyright terms: Public domain W3C validator