Theorem lmat22lem 34001

Description: Lemma for lmat22e11 34002 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2	1	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0))
3		lmat22.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		lmat22.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	s2cld 14824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
6		s2fv0 14840	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
9	2, 8	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
10	9	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
11		s2len 14842	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
13	12	adantlr 721	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
15	14	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1))
16		lmat22.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		lmat22.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18	16, 17	s2cld 14824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		s2fv1 14841	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
22	15, 21	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	22	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩))
24		s2len 14842	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩) = 2
25	23, 24	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
26	25	adantlr 721	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
27		fzo0to2pr 13696	. . . . 5 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
28	27	eleq2i 2831	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑖 ∈ V
30	29	elpr 4580	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
31	28, 30	bitri 276	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
32	31	bilani 505	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
33	13, 26, 32	mpjaodan 966	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cpr 4557  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030  2c2 12227  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  ⟨“cs2 14794  litMatclmat 33995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801

This theorem is referenced by:  lmat22e11  34002  lmat22e12  34003  lmat22e21  34004  lmat22e22  34005  lmat22det  34006