Theorem lmat22lem 33803

Description: Lemma for lmat22e11 33804 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2	1	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0))
3		lmat22.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		lmat22.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	s2cld 14797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
6		s2fv0 14813	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
9	2, 8	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
10	9	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
11		s2len 14815	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
13	12	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
15	14	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1))
16		lmat22.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		lmat22.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18	16, 17	s2cld 14797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		s2fv1 14814	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
22	15, 21	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	22	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩))
24		s2len 14815	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩) = 2
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
26	25	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
27		fzo0to2pr 13672	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
28	27	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑖 ∈ V
30	29	elpr 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
31	28, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
32	31	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
33	32	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
34	13, 26, 33	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  2c2 12202  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256  Word cword 14439  ⟨“cs2 14767  litMatclmat 33797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440  df-concat 14497  df-s1 14522  df-s2 14774

This theorem is referenced by:  lmat22e11  33804  lmat22e12  33805  lmat22e21  33806  lmat22e22  33807  lmat22det  33808