Theorem lmat22lem 34449

Description: Lemma for lmat22e11 34450 and co. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmat22lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2	1	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0))
3		lmat22.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		lmat22.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	s2cld 15022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
6		s2fv0 15038	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
9	2, 8	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
10	9	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
11		s2len 15040	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
13	12	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 0) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
15	14	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1))
16		lmat22.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		lmat22.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18	16, 17	s2cld 15022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		s2fv1 15039	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
22	15, 21	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	22	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩))
24		s2len 15040	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐶𝐷”⟩) = 2
25	23, 24	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
26	25	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) ∧ 𝑖 = 1) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
27		fzo0to2pr 13885	. . . . 5 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
28	27	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1})
29		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑖 ∈ V
30	29	elpr 4609	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {0, 1} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
31	28, 30	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^2) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
32	31	bilani 510	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
33	13, 26, 32	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201  2c2 12397  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  ⟨“cs2 14992  litMatclmat 34443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999

This theorem is used by:  lmat22e11  34450  lmat22e12  34451  lmat22e21  34452  lmat22e22  34453  lmat22det  34454