Theorem ply10s0 22175

Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 20833 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply10s0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply10s0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply10s0.e	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply10s0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem ply10s0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply10s0.e	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply10s0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22170	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	1, 5	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀))
8	2	ply1lmod 22169	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9		ply10s0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11		ply10s0.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14	9, 10, 11, 12, 13	lmod0vs 20833	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
15	8, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  Ringcrg 20153  LModclmod 20798  Poly₁cpl1 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  22694  pmatcollpw2lem  22697  gsummoncoe1fzo  33556