Theorem ply10s0 22536

Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 21131 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply10s0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply10s0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply10s0.e	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply10s0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem ply10s0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply10s0.e	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply10s0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22531	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	1, 5	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀))
8	2	ply1lmod 22530	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9		ply10s0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11		ply10s0.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14	9, 10, 11, 12, 13	lmod0vs 21131	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
15	8, 14	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  Scalarcsca 17392   ·_𝑠 cvsca 17393  0_gc0g 17571  Ringcrg 20420  LModclmod 21096  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-psr 22178  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-ply1 22461

This theorem is used by:  pmatcollpw1lem1  23053  pmatcollpw2lem  23056  gsummoncoe1fzo  34062