Theorem ply10s0 22199

Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 20848 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply10s0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply10s0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply10s0.e	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply10s0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem ply10s0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply10s0.e	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply10s0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22194	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	1, 5	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀))
8	2	ply1lmod 22193	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9		ply10s0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11		ply10s0.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14	9, 10, 11, 12, 13	lmod0vs 20848	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
15	8, 14	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  Scalarcsca 17181   ·_𝑠 cvsca 17182  0_gc0g 17360  Ringcrg 20172  LModclmod 20813  Poly₁cpl1 22118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-psr 21866  df-mpl 21868  df-opsr 21870  df-psr1 22121  df-ply1 22123

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  22717  pmatcollpw2lem  22720  gsummoncoe1fzo  33662