Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply10s0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply10s0 20883
 Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 19658 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply10s0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply10s0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m = ( ·𝑠𝑃)
ply10s0.e 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply10s0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 0 𝑀) = (0g𝑃))

Proof of Theorem ply10s0
StepHypRef Expression
1 ply10s0.e . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 ply10s0.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1sca 20880 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
43adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
54fveq2d 6656 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
61, 5syl5eq 2869 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
76oveq1d 7155 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 0 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) 𝑀))
82ply1lmod 20879 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9 ply10s0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 eqid 2822 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11 ply10s0.m . . . 4 = ( ·𝑠𝑃)
12 eqid 2822 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
149, 10, 11, 12, 13lmod0vs 19658 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) 𝑀) = (0g𝑃))
158, 14sylan 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) 𝑀) = (0g𝑃))
167, 15eqtrd 2857 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 0 𝑀) = (0g𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  Poly1cpl1 20804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-ple 16576  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-psr 20592  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-psr1 20807  df-ply1 20809 This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  21377  pmatcollpw2lem  21380
 Copyright terms: Public domain W3C validator