Theorem ply10s0 22217

Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 20807 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply10s0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply10s0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply10s0.e	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply10s0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem ply10s0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply10s0.e	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply10s0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22212	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	1, 5	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀))
8	2	ply1lmod 22211	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9		ply10s0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11		ply10s0.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14	9, 10, 11, 12, 13	lmod0vs 20807	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
15	8, 14	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  Scalarcsca 17255   ·_𝑠 cvsca 17256  0_gc0g 17440  Ringcrg 20202  LModclmod 20772  Poly₁cpl1 22136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-hom 17276  df-cco 17277  df-0g 17442  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-psr 21876  df-mpl 21878  df-opsr 21880  df-psr1 22139  df-ply1 22141

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  22737  pmatcollpw2lem  22740  gsummoncoe1fzo  33418