Theorem ply10s0 22605

Description: Zero times a univariate polynomial is the zero polynomial (lmod0vs 21200 analog.) (Contributed by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply10s0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply10s0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply10s0.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply10s0.e	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply10s0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem ply10s0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply10s0.e	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		ply10s0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22600	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	1, 5	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀))
8	2	ply1lmod 22599	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9		ply10s0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
11		ply10s0.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14	9, 10, 11, 12, 13	lmod0vs 21200	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
15	8, 14	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ 𝑀) = (0g‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  0_gc0g 17639  Ringcrg 20489  LModclmod 21165  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-psr 22247  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-ply1 22530

This theorem is used by:  pmatcollpw1lem1  23122  pmatcollpw2lem  23125  gsummoncoe1fzo  34199