Theorem r1p0 34205

Description: Polynomial remainder operation of a division of the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1p0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1p0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1p0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1p0	⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

Proof of Theorem r1p0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1p0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ))
7	2	ply1lmod 22596	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9	2	ply1ring 22592	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11		r1p0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 11	ring0cl 20523	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
13	1, 9, 12	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
17	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21197	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
18	8, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
19	6, 18	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
20	19	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ( 0 𝐸𝐷))
21		r1padd1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
22		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		r1p0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	24, 25	ring0cl 20523	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	2, 10, 21, 22, 1, 13, 23, 15, 24, 27	r1pvsca 34204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
29	5	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
30	22, 2, 10, 21	r1pcl 26504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
31	1, 13, 23, 30	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
32	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21197	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
33	8, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
34	28, 29, 33	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = 0 )
35	20, 34	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636  Ringcrg 20486  LModclmod 21162  Poly₁cpl1 22522  Unic_1pcuc1p 26472  rem_1pcr1p 26474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-rlreg 20973  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-cnfld 21706  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-mdeg 26400  df-deg1 26401  df-uc1p 26477  df-q1p 26478  df-r1p 26479

This theorem is used by:  r1pquslmic  34209