Theorem r1p0 33689

Description: Polynomial remainder operation of a division of the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1p0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1p0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1p0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1p0	⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

Proof of Theorem r1p0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1p0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ))
7	2	ply1lmod 22194	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9	2	ply1ring 22190	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11		r1p0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 11	ring0cl 20204	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
13	1, 9, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
17	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 20848	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
18	8, 13, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
19	6, 18	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
20	19	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ( 0 𝐸𝐷))
21		r1padd1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
22		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		r1p0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
24		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	24, 25	ring0cl 20204	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	2, 10, 21, 22, 1, 13, 23, 15, 24, 27	r1pvsca 33688	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
29	5	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
30	22, 2, 10, 21	r1pcl 26122	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
31	1, 13, 23, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
32	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 20848	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
33	8, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
34	28, 29, 33	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = 0 )
35	20, 34	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  Ringcrg 20170  LModclmod 20813  Poly₁cpl1 22119  Unic_1pcuc1p 26090  rem_1pcr1p 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-cnfld 21312  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-uc1p 26095  df-q1p 26096  df-r1p 26097

This theorem is referenced by:  r1pquslmic  33694