Theorem r1p0 34001

Description: Polynomial remainder operation of a division of the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1p0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1p0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1p0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1p0	⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

Proof of Theorem r1p0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1p0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ))
7	2	ply1lmod 22475	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9	2	ply1ring 22471	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11		r1p0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 11	ring0cl 20407	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
13	1, 9, 12	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
17	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21078	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
18	8, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
19	6, 18	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
20	19	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ( 0 𝐸𝐷))
21		r1padd1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
22		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		r1p0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
24		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	24, 25	ring0cl 20407	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	2, 10, 21, 22, 1, 13, 23, 15, 24, 27	r1pvsca 34000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
29	5	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
30	22, 2, 10, 21	r1pcl 26384	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
31	1, 13, 23, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
32	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21078	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
33	8, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
34	28, 29, 33	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = 0 )
35	20, 34	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  0_gc0g 17526  Ringcrg 20371  LModclmod 21043  Poly₁cpl1 22401  Unic_1pcuc1p 26352  rem_1pcr1p 26354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-rlreg 20855  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-cnfld 21585  df-psr 22123  df-mvr 22124  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-psr1 22404  df-vr1 22405  df-ply1 22406  df-coe1 22407  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-uc1p 26357  df-q1p 26358  df-r1p 26359

This theorem is used by:  r1pquslmic  34005