Theorem r1p0 34057

Description: Polynomial remainder operation of a division of the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1p0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1p0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1p0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1p0	⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

Proof of Theorem r1p0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1p0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	4	fveq2d 6878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ))
7	2	ply1lmod 22516	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9	2	ply1ring 22512	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11		r1p0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 11	ring0cl 20443	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ 𝑈)
13	1, 9, 12	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
17	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21117	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
18	8, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
19	6, 18	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 ) = 0 )
20	19	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ( 0 𝐸𝐷))
21		r1padd1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
22		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		r1p0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	24, 25	ring0cl 20443	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	2, 10, 21, 22, 1, 13, 23, 15, 24, 27	r1pvsca 34056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
29	5	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)))
30	22, 2, 10, 21	r1pcl 26424	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
31	1, 13, 23, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈)
32	10, 14, 15, 16, 11	lmod0vs 21117	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ ( 0 𝐸𝐷) ∈ 𝑈) → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
33	8, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)( 0 𝐸𝐷)) = 0 )
34	28, 29, 33	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃) 0 )𝐸𝐷) = 0 )
35	20, 34	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 𝐸𝐷) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557  Ringcrg 20406  LModclmod 21082  Poly₁cpl1 22442  Unic_1pcuc1p 26392  rem_1pcr1p 26394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-rlreg 20893  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-cnfld 21626  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448  df-mdeg 26320  df-deg1 26321  df-uc1p 26397  df-q1p 26398  df-r1p 26399

This theorem is used by:  r1pquslmic  34061