MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj 20397
Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o 0 = (0g𝑊)
lspdisj.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisj.x (𝜑𝑋𝑉)
lspdisj.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspdisj (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspdisj.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20378 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspdisj.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
5 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7 lspdisj.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9 lspdisj.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9lspsnel 20275 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
113, 4, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
1211biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
1312adantrr 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
14 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
15 lspdisj.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋𝑈)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣𝑈)
1814, 17eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 lspdisj.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22 lspdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈𝑆)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑈𝑆)
244ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑋𝑉)
25 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
267, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25lssvs0or 20382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈)))
2718, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈))
2827orcomd 868 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
2928ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3016, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3130oveq1d 7282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋))
323ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33 lspdisj.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
347, 5, 8, 19, 33lmod0vs 20166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3532, 24, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3614, 31, 353eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
3736exp32 421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3837adantrl 713 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3938rexlimdv 3210 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4013, 39mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣 = 0 )
4140ex 413 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42 elin 3902 . . . 4 (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈))
43 velsn 4577 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4441, 42, 433imtr4g 296 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
4544ssrdv 3926 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
467, 20, 9lspsncl 20249 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
473, 4, 46syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
4833, 20lss0ss 20220 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
493, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5033, 20lss0ss 20220 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
513, 22, 50syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
5249, 51ssind 4166 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
5345, 52eqssd 3937 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cin 3885  wss 3886  {csn 4561  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975   ·𝑠 cvsca 16976  0gc0g 17160  LModclmod 20133  LSubSpclss 20203  LSpanclspn 20243  LVecclvec 20374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lvec 20375
This theorem is referenced by:  lspdisjb  20398  lspdisj2  20399  lvecindp  20410
  Copyright terms: Public domain W3C validator