Theorem lspdisj 21115

Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisj.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspdisj.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		lspdisj.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspdisj.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	ellspsn 20989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
11	3, 4, 10	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
13	12	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
15		lspdisj.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 ∈ 𝑈)
18	14, 17	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		lspdisj.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lspdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	7, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25	lssvs0or 21100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))
27	18, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
28	27	orcomd 872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	28	ord 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
30	16, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
32	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33		lspdisj.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 5, 8, 19, 33	lmod0vs 20881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
35	32, 24, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
36	14, 31, 35	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
37	36	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
38	37	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
39	38	rexlimdv 3137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
40	13, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 = 0 )
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42		elin 3906	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
43		velsn 4584	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
44	41, 42, 43	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
45	44	ssrdv 3928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
46	7, 20, 9	lspsncl 20963	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
47	3, 4, 46	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
48	33, 20	lss0ss 20935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
49	3, 47, 48	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
50	33, 20	lss0ss 20935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
51	3, 22, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
52	49, 51	ssind 4182	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
53	45, 52	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  lspdisjb  21116  lspdisj2  21117  lvecindp  21128