MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspdisj 20883
Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspdisj.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspdisj.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspdisj.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspdisj.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspdisj.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspdisj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lspdisj (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 })
Proof of Theorem lspdisj
Dummy variables 𝑣 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspdisj.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20861 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspdisj.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7 lspdisj.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 lspdisj.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9lspsnel 20758 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
113, 4, 10syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
1211biimpa 475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
1312adantrr 713 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
14 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
15 lspdisj.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
1615ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
17 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ)
1814, 17eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
19 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 lspdisj.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
211ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
22 lspdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2322ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
244ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
25 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
267, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25lssvs0or 20868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
2718, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2827orcomd 867 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2928ord 860 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3016, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3130oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
323ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
33 lspdisj.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘Š)
347, 5, 8, 19, 33lmod0vs 20649 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
3532, 24, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
3614, 31, 353eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) β†’ 𝑣 = 0 )
3736exp32 419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ 𝑣 = 0 )))
3837adantrl 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ 𝑣 = 0 )))
3938rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑣 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ 𝑣 = 0 ))
4013, 39mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑣 = 0 )
4140ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 = 0 ))
42 elin 3963 . . . 4 (𝑣 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) ↔ (𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ))
43 velsn 4643 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4441, 42, 433imtr4g 295 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑣 ∈ { 0 }))
4544ssrdv 3987 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) βŠ† { 0 })
467, 20, 9lspsncl 20732 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
473, 4, 46syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
4833, 20lss0ss 20703 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
493, 47, 48syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
5033, 20lss0ss 20703 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ { 0 } βŠ† π‘ˆ)
513, 22, 50syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† π‘ˆ)
5249, 51ssind 4231 . 2 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ))
5345, 52eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  lspdisjb  20884  lspdisj2  20885  lvecindp  20896
  Copyright terms: Public domain W3C validator