Theorem lspdisj 21383

Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisj.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspdisj.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		lspdisj.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspdisj.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	ellspsn 21258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
11	3, 4, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	11	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
13	12	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
15		lspdisj.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 ∈ 𝑈)
18	14, 17	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		lspdisj.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lspdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	7, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25	lssvs0or 21368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))
27	18, 26	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
28	27	orcomd 885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	28	ord 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
30	16, 29	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
32	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33		lspdisj.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 5, 8, 19, 33	lmod0vs 21150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
35	32, 24, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
36	14, 31, 35	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
37	36	exp32 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
38	37	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
39	38	rexlimdv 3162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
40	13, 39	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 = 0 )
41	40	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42		elin 3915	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
43		velsn 4600	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
44	41, 42, 43	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
45	44	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
46	7, 20, 9	lspsncl 21232	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
47	3, 4, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
48	33, 20	lss0ss 21204	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
49	3, 47, 48	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
50	33, 20	lss0ss 21204	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
51	3, 22, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
52	49, 51	ssind 4186	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
53	45, 52	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358

This theorem is used by:  lspdisjb  21384  lspdisj2  21385  lvecindp  21396