Theorem lspdisj 20397

Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisj.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspdisj.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		lspdisj.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspdisj.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnel 20275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
11	3, 4, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	11	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
13	12	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
15		lspdisj.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 ∈ 𝑈)
18	14, 17	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		lspdisj.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lspdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	22	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	7, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25	lssvs0or 20382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))
27	18, 26	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
28	27	orcomd 868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	28	ord 861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
30	16, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	oveq1d 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
32	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33		lspdisj.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 5, 8, 19, 33	lmod0vs 20166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
35	32, 24, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
36	14, 31, 35	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
37	36	exp32 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
38	37	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
39	38	rexlimdv 3210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
40	13, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 = 0 )
41	40	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42		elin 3902	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
43		velsn 4577	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
44	41, 42, 43	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
45	44	ssrdv 3926	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
46	7, 20, 9	lspsncl 20249	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
47	3, 4, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
48	33, 20	lss0ss 20220	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
49	3, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
50	33, 20	lss0ss 20220	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
51	3, 22, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
52	49, 51	ssind 4166	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
53	45, 52	eqssd 3937	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∩ cin 3885   ⊆ wss 3886  {csn 4561  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975   ·_𝑠 cvsca 16976  0_gc0g 17160  LModclmod 20133  LSubSpclss 20203  LSpanclspn 20243  LVecclvec 20374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lvec 20375

This theorem is referenced by:  lspdisjb  20398  lspdisj2  20399  lvecindp  20410