MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj 21102
Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o 0 = (0g𝑊)
lspdisj.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisj.x (𝜑𝑋𝑉)
lspdisj.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspdisj (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspdisj.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21080 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspdisj.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7 lspdisj.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9 lspdisj.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9ellspsn 20976 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
113, 4, 10syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
1211biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
1312adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
14 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
15 lspdisj.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋𝑈)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣𝑈)
1814, 17eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 lspdisj.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22 lspdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈𝑆)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑈𝑆)
244ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑋𝑉)
25 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
267, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25lssvs0or 21087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈)))
2718, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈))
2827orcomd 869 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
2928ord 862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3016, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3130oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋))
323ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33 lspdisj.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
347, 5, 8, 19, 33lmod0vs 20867 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3532, 24, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3614, 31, 353eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
3736exp32 419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3837adantrl 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3938rexlimdv 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4013, 39mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣 = 0 )
4140ex 411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42 elin 3962 . . . 4 (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈))
43 velsn 4639 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4441, 42, 433imtr4g 295 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
4544ssrdv 3984 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
467, 20, 9lspsncl 20950 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
473, 4, 46syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
4833, 20lss0ss 20922 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
493, 47, 48syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5033, 20lss0ss 20922 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
513, 22, 50syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
5249, 51ssind 4231 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
5345, 52eqssd 3996 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cin 3945  wss 3946  {csn 4623  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  Scalarcsca 17264   ·𝑠 cvsca 17265  0gc0g 17449  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944  LVecclvec 21076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20705  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lvec 21077
This theorem is referenced by:  lspdisjb  21103  lspdisj2  21104  lvecindp  21115
  Copyright terms: Public domain W3C validator