Theorem lspdisj 21050

Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisj.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspdisj.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		lspdisj.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspdisj.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	ellspsn 20924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
11	3, 4, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
13	12	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
15		lspdisj.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 ∈ 𝑈)
18	14, 17	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		lspdisj.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lspdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	7, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25	lssvs0or 21035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))
27	18, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
28	27	orcomd 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	28	ord 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
30	16, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
32	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33		lspdisj.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 5, 8, 19, 33	lmod0vs 20816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
35	32, 24, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
36	14, 31, 35	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
37	36	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
38	37	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
39	38	rexlimdv 3128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
40	13, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 = 0 )
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
43		velsn 4595	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
44	41, 42, 43	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
45	44	ssrdv 3943	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
46	7, 20, 9	lspsncl 20898	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
47	3, 4, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
48	33, 20	lss0ss 20870	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
49	3, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
50	33, 20	lss0ss 20870	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
51	3, 22, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
52	49, 51	ssind 4194	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
53	45, 52	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852  LSpanclspn 20892  LVecclvec 21024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lvec 21025

This theorem is referenced by:  lspdisjb  21051  lspdisj2  21052  lvecindp  21063