Theorem lspdisj 19890

Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspdisj	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisj.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspdisj.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		lspdisj.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspdisj.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnel 19768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
11	3, 4, 10	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	11	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
13	12	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
15		lspdisj.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 ∈ 𝑈)
18	14, 17	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20		lspdisj.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lspdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
24	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26	7, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25	lssvs0or 19875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))
27	18, 26	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
28	27	orcomd 868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
29	28	ord 861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
30	16, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
31	30	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
32	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33		lspdisj.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 5, 8, 19, 33	lmod0vs 19660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
35	32, 24, 34	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
36	14, 31, 35	3eqtrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
37	36	exp32 424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
38	37	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
39	38	rexlimdv 3242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
40	13, 39	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 = 0 )
41	40	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42		elin 3897	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈))
43		velsn 4541	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
44	41, 42, 43	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
45	44	ssrdv 3921	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
46	7, 20, 9	lspsncl 19742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
47	3, 4, 46	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
48	33, 20	lss0ss 19713	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
49	3, 47, 48	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
50	33, 20	lss0ss 19713	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
51	3, 22, 50	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
52	49, 51	ssind 4159	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
53	45, 52	eqssd 3932	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868

This theorem is referenced by:  lspdisjb  19891  lspdisj2  19892  lvecindp  19903