Theorem lcd0vs 40980

Description: A scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0vs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0vs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcd0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lcd0vs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcd0vs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcd0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
lcd0vs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcd0vs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcd0vs	⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Proof of Theorem lcd0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0vs.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcd0vs.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcd0vs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		lcd0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		lcd0vs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
7		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
8		lcd0vs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcd0 40973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
10	9	oveq1d 7417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
11	1, 5, 8	lcdlmod 40957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
12		lcd0vs.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
13		lcd0vs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
14		lcd0vs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
15		lcd0vs.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
16	13, 6, 14, 7, 15	lmod0vs 20733	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝑂)
17	11, 12, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝑂)
18	10, 17	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Scalarcsca 17201   ·_𝑠 cvsca 17202  0_gc0g 17386  LModclmod 20698  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  LCDualclcd 40951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-lcv 38383  df-lfl 38422  df-lkr 38450  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tgrp 40108  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dveca 40368  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760  df-lcdual 40952

This theorem is referenced by:  mapdpglem6  41043