MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneleq 19878
Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 29351 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneleq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o 0 = (0g𝑊)
lspsneleq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneleq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
lspsneleq (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneleq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2 lspsneleq.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19869 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspsneleq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 eqid 2822 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 lspsneleq.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2822 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
10 lspsneleq.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
116, 7, 8, 9, 10lspsnel 19766 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
124, 5, 11syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
13 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
1413sneqd 4551 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)})
1514fveq2d 6656 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}))
162ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 lspsneleq.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑌0 )
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑌0 )
20 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
21 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2221oveq1d 7155 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋))
23 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24 lspsneleq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑊)
258, 6, 9, 23, 24lmod0vs 19658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
264, 5, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
2820, 22, 273eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
2928ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
3029necon3d 3032 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑌0𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3119, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
325ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑋𝑉)
338, 6, 9, 7, 23, 10lspsnvs 19877 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
3416, 17, 31, 32, 33syl121anc 1372 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
3515, 34eqtrd 2857 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
3635rexlimdva2 3273 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
3712, 36sylbid 243 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  {csn 4539  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  LModclmod 19625  LSpanclspn 19734  LVecclvec 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866
This theorem is referenced by:  lspsncmp  19879  lspsnel4  19887  lspdisj2  19890  lspexch  19892  lsmcv  19904  mapdpglem10  38939  mapdpglem15  38944
  Copyright terms: Public domain W3C validator