MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneleq 20592
Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 30554 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneleq.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneleq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneleq.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneleq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneleq.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
lspsneleq.z (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lspsneleq (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneleq.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2 lspsneleq.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20582 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspsneleq.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 lspsneleq.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 lspsneleq.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
116, 7, 8, 9, 10lspsnel 20479 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
124, 5, 11syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
13 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
1413sneqd 4599 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ {π‘Œ} = {(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)})
1514fveq2d 6847 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}))
162ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
17 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
18 lspsneleq.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ β‰  0 )
20 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
21 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
24 lspsneleq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘Š)
258, 6, 9, 23, 24lmod0vs 20370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
264, 5, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2820, 22, 273eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = 0 )
2928ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ = 0 ))
3029necon3d 2961 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘Œ β‰  0 β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3119, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
325ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
338, 6, 9, 7, 23, 10lspsnvs 20591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3416, 17, 31, 32, 33syl121anc 1376 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3515, 34eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3635rexlimdva2 3151 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
3712, 36sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
381, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  lspsncmp  20593  lspsnel4  20601  lspdisj2  20604  lspexch  20606  lsmcv  20618  mapdpglem10  40190  mapdpglem15  40195
  Copyright terms: Public domain W3C validator