MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneleq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsneleq 20966
Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 31332 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneleq.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneleq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneleq.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneleq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneleq.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
lspsneleq.z (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lspsneleq (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Proof of Theorem lspsneleq
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneleq.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2 lspsneleq.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspsneleq.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 lspsneleq.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2726 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 lspsneleq.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
116, 7, 8, 9, 10lspsnel 20850 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
124, 5, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
1413sneqd 4635 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ {π‘Œ} = {(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)})
1514fveq2d 6889 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}))
162ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
17 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
18 lspsneleq.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
1918ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ β‰  0 )
20 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
24 lspsneleq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘Š)
258, 6, 9, 23, 24lmod0vs 20741 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
264, 5, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2726ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2820, 22, 273eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = 0 )
2928ex 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ = 0 ))
3029necon3d 2955 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘Œ β‰  0 β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3119, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
325ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
338, 6, 9, 7, 23, 10lspsnvs 20965 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3416, 17, 31, 32, 33syl121anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3515, 34eqtrd 2766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3635rexlimdva2 3151 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
3712, 36sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
381, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  lspsncmp  20967  lspsnel4  20975  lspdisj2  20978  lspexch  20980  lsmcv  20992  mapdpglem10  41065  mapdpglem15  41070
  Copyright terms: Public domain W3C validator