Theorem lspsneleq 21070

Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 31645 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneleq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneleq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsneleq	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneleq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2		lspsneleq.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsneleq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lspsneleq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lspsneleq.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	ellspsn 20954	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	4, 5, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14	13	sneqd 4592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)})
15	14	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}))
16	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18		lspsneleq.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 ≠ 0 )
20		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lspsneleq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	8, 6, 9, 23, 24	lmod0vs 20846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
26	4, 5, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
27	26	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
28	20, 22, 27	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
30	29	necon3d 2953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑌 ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31	19, 30	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	8, 6, 9, 7, 23, 10	lspsnvs 21069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	16, 17, 31, 32, 33	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
35	15, 34	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
36	35	rexlimdva2 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
37	12, 36	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055

This theorem is referenced by:  lspsncmp  21071  ellspsn4  21079  lspdisj2  21082  lspexch  21084  lsmcv  21096  mapdpglem10  41937  mapdpglem15  41942