Theorem lspsneleq 21158

Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 31712 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneleq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneleq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsneleq	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneleq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2		lspsneleq.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21146	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsneleq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lspsneleq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lspsneleq.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	ellspsn 21043	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	4, 5, 11	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14	13	sneqd 4588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)})
15	14	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}))
16	2	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simplr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18		lspsneleq.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
19	18	ad2antrr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 ≠ 0 )
20		simplr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
21		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	oveq1d 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
23		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lspsneleq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	8, 6, 9, 23, 24	lmod0vs 20935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
26	4, 5, 25	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
27	26	ad3antrrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
28	20, 22, 27	3eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
29	28	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
30	29	necon3d 2972	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑌 ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31	19, 30	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	5	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	8, 6, 9, 7, 23, 10	lspsnvs 21157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	16, 17, 31, 32, 33	syl121anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
35	15, 34	eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
36	35	rexlimdva2 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
37	12, 36	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  {csn 4576  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  LModclmod 20900  LSpanclspn 21011  LVecclvec 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-lvec 21143

This theorem is referenced by:  lspsncmp  21159  ellspsn4  21167  lspdisj2  21170  lspexch  21172  lsmcv  21184  mapdpglem10  42253  mapdpglem15  42258