Theorem lspsneleq 21082

Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 31657 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneleq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneleq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsneleq	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneleq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2		lspsneleq.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21070	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsneleq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lspsneleq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lspsneleq.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	ellspsn 20966	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
12	4, 5, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
14	13	sneqd 4594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)})
15	14	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}))
16	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18		lspsneleq.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑌 ≠ 0 )
20		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lspsneleq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	8, 6, 9, 23, 24	lmod0vs 20858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
26	4, 5, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
27	26	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )
28	20, 22, 27	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
30	29	necon3d 2954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑌 ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31	19, 30	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
32	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	8, 6, 9, 7, 23, 10	lspsnvs 21081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	16, 17, 31, 32, 33	syl121anc 1378	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
35	15, 34	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
36	35	rexlimdva2 3141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
37	12, 36	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  LVecclvec 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067

This theorem is referenced by:  lspsncmp  21083  ellspsn4  21091  lspdisj2  21094  lspexch  21096  lsmcv  21108  mapdpglem10  42051  mapdpglem15  42056