MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneleq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsneleq 21007
Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 31424 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneleq.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneleq.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneleq.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneleq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneleq.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneleq.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
lspsneleq.z (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lspsneleq (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Proof of Theorem lspsneleq
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneleq.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2 lspsneleq.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20995 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspsneleq.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 lspsneleq.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 lspsneleq.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
116, 7, 8, 9, 10lspsnel 20891 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
124, 5, 11syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)))
13 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
1413sneqd 4636 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ {π‘Œ} = {(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)})
1514fveq2d 6896 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}))
162ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
17 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
18 lspsneleq.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
1918ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘Œ β‰  0 )
20 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
21 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
24 lspsneleq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘Š)
258, 6, 9, 23, 24lmod0vs 20782 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
264, 5, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2726ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 0 )
2820, 22, 273eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∧ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Œ = 0 )
2928ex 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ = 0 ))
3029necon3d 2951 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘Œ β‰  0 β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3119, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
325ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
338, 6, 9, 7, 23, 10lspsnvs 21006 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3416, 17, 31, 32, 33syl121anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3515, 34eqtrd 2765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3635rexlimdva2 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Œ = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
3712, 36sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
381, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992
This theorem is referenced by:  lspsncmp  21008  lspsnel4  21016  lspdisj2  21019  lspexch  21021  lsmcv  21033  mapdpglem10  41210  mapdpglem15  41215
  Copyright terms: Public domain W3C validator