Theorem ldual0vs 39967

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual0vs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldual0vs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0vs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldual0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldual0vs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldual0vs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		ldual0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		ldual0vs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual0vs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 39954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
8	7	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
9	3, 6	lduallmod 39960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
10		ldual0vs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12		ldual0vs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 39934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
14		ldual0vs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldual0vs.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 21046	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
17	9, 13, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
18	8, 17	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331   ·_𝑠 cvsca 17332  0_gc0g 17510  LModclmod 21011  LFnlclfn 39864  LDualcld 39930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-lmod 21013  df-lfl 39865  df-ldual 39931

This theorem is used by:  lkrss2N  39976  lcfrlem33  42382