Theorem ldual0vs 38672

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual0vs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldual0vs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0vs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldual0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldual0vs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldual0vs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		ldual0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		ldual0vs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual0vs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 38659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
8	7	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
9	3, 6	lduallmod 38665	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
10		ldual0vs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12		ldual0vs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 38639	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
14		ldual0vs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldual0vs.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 20792	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
17	9, 13, 16	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
18	8, 17	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·_𝑠 cvsca 17246  0_gc0g 17430  LModclmod 20757  LFnlclfn 38569  LDualcld 38635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-lmod 20759  df-lfl 38570  df-ldual 38636

This theorem is referenced by:  lkrss2N  38681  lcfrlem33  41088