Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0vs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0vs 36401
 Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0vs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual0vs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0vs.z 0 = (0g𝑅)
ldual0vs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0vs.t · = ( ·𝑠𝐷)
ldual0vs.o 𝑂 = (0g𝐷)
ldual0vs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldual0vs.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual0vs (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Proof of Theorem ldual0vs
StepHypRef Expression
1 ldual0vs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2 ldual0vs.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 ldual0vs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 eqid 2824 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5 eqid 2824 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
6 ldual0vs.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldual0 36388 . . 3 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
87oveq1d 7164 . 2 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
93, 6lduallmod 36394 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
10 ldual0vs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12 ldual0vs.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
1310, 3, 11, 6, 12ldualelvbase 36368 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
14 ldual0vs.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
15 ldual0vs.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐷)
1611, 4, 14, 5, 15lmod0vs 19667 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
179, 13, 16syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
188, 17eqtr3d 2861 1 (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LFnlclfn 36298  LDualcld 36364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-lmod 19636  df-lfl 36299  df-ldual 36365 This theorem is referenced by:  lkrss2N  36410  lcfrlem33  38816
 Copyright terms: Public domain W3C validator