Theorem ldual0vs 40033

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual0vs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldual0vs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0vs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldual0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldual0vs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldual0vs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		ldual0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		ldual0vs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual0vs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 40020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
8	7	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
9	3, 6	lduallmod 40026	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
10		ldual0vs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12		ldual0vs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 40000	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
14		ldual0vs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldual0vs.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 21079	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
17	9, 13, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝐷)) · 𝐺) = 𝑂)
18	8, 17	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524  LModclmod 21044  LFnlclfn 39930  LDualcld 39996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-lmod 21046  df-lfl 39931  df-ldual 39997

This theorem is used by:  lkrss2N  40042  lcfrlem33  42448