MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsubval2 19411
Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (hvsubval 28572 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubval2.p + = (+g𝑊)
lmodvsubval2.m = (-g𝑊)
lmodvsubval2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsubval2.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsubval2.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodvsubval2.u 1 = (1r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsubval2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvsubval2
StepHypRef Expression
1 lmodvsubval2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsubval2.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 eqid 2779 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
4 lmodvsubval2.m . . . 4 = (-g𝑊)
51, 2, 3, 4grpsubval 17936 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
653adant1 1110 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
7 lmodvsubval2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodvsubval2.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lmodvsubval2.u . . . . 5 1 = (1r𝐹)
10 lmodvsubval2.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐹)
111, 3, 7, 8, 9, 10lmodvneg1 19399 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁1 ) · 𝐵) = ((invg𝑊)‘𝐵))
12113adant2 1111 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁1 ) · 𝐵) = ((invg𝑊)‘𝐵))
1312oveq2d 6992 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
146, 13eqtr4d 2818 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  Scalarcsca 16424   ·𝑠 cvsca 16425  invgcminusg 17892  -gcsg 17893  1rcur 18974  LModclmod 19356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-lmod 19358
This theorem is referenced by:  lmodsubvs  19412  lmodsubdi  19413  lmodsubdir  19414  lssvsubcl  19437  clmvsubval  23416  lflsub  35645  ldualvsub  35733  ldualvsubval  35735  lcdvsub  38195  lcdvsubval  38196  baerlem3lem1  38285  zlmodzxzsubm  43769
  Copyright terms: Public domain W3C validator