MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsubval2 20377
Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (hvsubval 29958 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubval2.p + = (+g𝑊)
lmodvsubval2.m = (-g𝑊)
lmodvsubval2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsubval2.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsubval2.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodvsubval2.u 1 = (1r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsubval2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvsubval2
StepHypRef Expression
1 lmodvsubval2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsubval2.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 eqid 2736 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
4 lmodvsubval2.m . . . 4 = (-g𝑊)
51, 2, 3, 4grpsubval 18796 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
653adant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
7 lmodvsubval2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodvsubval2.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lmodvsubval2.u . . . . 5 1 = (1r𝐹)
10 lmodvsubval2.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐹)
111, 3, 7, 8, 9, 10lmodvneg1 20365 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁1 ) · 𝐵) = ((invg𝑊)‘𝐵))
12113adant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁1 ) · 𝐵) = ((invg𝑊)‘𝐵))
1312oveq2d 7373 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘𝐵)))
146, 13eqtr4d 2779 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁1 ) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  1rcur 19913  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324
This theorem is referenced by:  lmodsubvs  20378  lmodsubdi  20379  lmodsubdir  20380  lssvsubcl  20404  clmvsubval  24472  lflsub  37529  ldualvsub  37617  ldualvsubval  37619  lcdvsub  40080  lcdvsubval  40081  baerlem3lem1  40170  zlmodzxzsubm  46425
  Copyright terms: Public domain W3C validator