Theorem lmodvsubval2 20887

Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (hvsubval 30944 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubval2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsubval2.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodvsubval2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsubval2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsubval2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodvsubval2.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsubval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsubval2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
4		lmodvsubval2.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
6	5	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
7		lmodvsubval2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodvsubval2.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodvsubval2.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
10		lmodvsubval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
11	1, 3, 7, 8, 9, 10	lmodvneg1 20875	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
12	11	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
13	12	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
14	6, 13	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  +_gcplusg 17259  Scalarcsca 17262   ·_𝑠 cvsca 17263  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  1_rcur 20158  LModclmod 20830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mgp 20112  df-ur 20159  df-ring 20212  df-lmod 20832

This theorem is referenced by:  lmodsubvs  20888  lmodsubdi  20889  lmodsubdir  20890  lssvsubcl  20915  clmvsubval  25122  lflsub  38776  ldualvsub  38864  ldualvsubval  38866  lcdvsub  41327  lcdvsubval  41328  baerlem3lem1  41417  zlmodzxzsubm  47772