Theorem lsmpr 20986

Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmpr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmpr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmpr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmpr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmpr	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lsmpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmpr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	snssd 4814	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4		lsmpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4814	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsmpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lsmpr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspun 20883	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
9	1, 3, 5, 8	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
10		df-pr 4633	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	10	fveq2i 6899	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
13		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	6, 13, 7	lspsncl 20873	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 2, 14	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	6, 13, 7	lspsncl 20873	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	1, 4, 16	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18		lsmpr.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	13, 7, 18	lsmsp 20983	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20	1, 15, 17, 19	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
21	9, 12, 20	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868

This theorem is referenced by:  lsppreli  20987  lsmelpr  20988  lsppr0  20989  lspprabs  20992  lspabs2  21020  lspindpi  21032  lsmsat  38610  dvh4dimlem  41046  dvh3dim3N  41052  lclkrlem2c  41112  lcfrlem20  41165  lcfrlem23  41168  mapdindp  41274  mapdindp2  41324  mapdindp4  41326  mapdh6dN  41342  lspindp5  41373  hdmap1l6d  41416  hdmaprnlem3eN  41461