Theorem lsmpr 21391

Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmpr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmpr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmpr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmpr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmpr	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lsmpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmpr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4		lsmpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsmpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lsmpr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspun 21289	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
9	1, 3, 5, 8	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
10		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	10	fveq2i 6908	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	6, 13, 7	lspsncl 21279	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 2, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	6, 13, 7	lspsncl 21279	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	1, 4, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18		lsmpr.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	13, 7, 18	lsmsp 21388	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20	1, 15, 17, 19	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
21	9, 12, 20	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  LSSumclsm 19875  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  LSpanclspn 21273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274

This theorem is used by:  lsppreli  21392  lsmelpr  21393  lsppr0  21394  lspprabs  21397  lspabs2  21425  lspindpi  21437  lsmsat  40256  dvh4dimlem  42691  dvh3dim3N  42697  lclkrlem2c  42757  lcfrlem20  42810  lcfrlem23  42813  mapdindp  42919  mapdindp2  42969  mapdindp4  42971  mapdh6dN  42987  lspindp5  43018  hdmap1l6d  43061  hdmaprnlem3eN  43106