MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmpr 20473
Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmpr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmpr.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmpr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsmpr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmpr (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))

Proof of Theorem lsmpr
StepHypRef Expression
1 lsmpr.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsmpr.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
32snssd 4768 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
4 lsmpr.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
54snssd 4768 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
6 lsmpr.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lsmpr.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspun 20371 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
91, 3, 5, 8syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
10 df-pr 4588 . . . 4 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
1110fveq2i 6841 . . 3 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
13 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
146, 13, 7lspsncl 20361 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 2, 14syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
166, 13, 7lspsncl 20361 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
171, 4, 16syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
18 lsmpr.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
1913, 7, 18lsmsp 20470 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
201, 15, 17, 19syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
219, 12, 203eqtr4d 2788 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3907   βŠ† wss 3909  {csn 4585  {cpr 4587  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  LSSumclsm 19345  LModclmod 20245  LSubSpclss 20315  LSpanclspn 20355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356
This theorem is referenced by:  lsppreli  20474  lsmelpr  20475  lsppr0  20476  lspprabs  20479  lspabs2  20504  lspindpi  20516  lsmsat  37356  dvh4dimlem  39792  dvh3dim3N  39798  lclkrlem2c  39858  lcfrlem20  39911  lcfrlem23  39914  mapdindp  40020  mapdindp2  40070  mapdindp4  40072  mapdh6dN  40088  lspindp5  40119  hdmap1l6d  40162  hdmaprnlem3eN  40207
  Copyright terms: Public domain W3C validator