Theorem lsmpr 19449

Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmpr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmpr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmpr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmpr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmpr	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lsmpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmpr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	snssd 4559	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4		lsmpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4559	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsmpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lsmpr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspun 19347	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
9	1, 3, 5, 8	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
10		df-pr 4401	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	10	fveq2i 6437	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
13		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	6, 13, 7	lspsncl 19337	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 2, 14	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	6, 13, 7	lspsncl 19337	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	1, 4, 16	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18		lsmpr.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	13, 7, 18	lsmsp 19446	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20	1, 15, 17, 19	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
21	9, 12, 20	3eqtr4d 2872	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∪ cun 3797   ⊆ wss 3799  {csn 4398  {cpr 4400  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  LSSumclsm 18401  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332

This theorem is referenced by:  lsppreli  19450  lsmelpr  19451  lsppr0  19452  lspprabs  19455  lspabs2  19480  lspindpi  19493  lsmsat  35084  dvh4dimlem  37519  dvh3dim3N  37525  lclkrlem2c  37585  lcfrlem20  37638  lcfrlem23  37641  mapdindp  37747  mapdindp2  37797  mapdindp4  37799  mapdh6dN  37815  lspindp5  37846  hdmap1l6d  37889  hdmaprnlem3eN  37934