MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmpr 20473
Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmpr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmpr.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmpr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsmpr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmpr (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))

Proof of Theorem lsmpr
StepHypRef Expression
1 lsmpr.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsmpr.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
32snssd 4767 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
4 lsmpr.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
54snssd 4767 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
6 lsmpr.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lsmpr.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspun 20371 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
91, 3, 5, 8syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
10 df-pr 4587 . . . 4 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
1110fveq2i 6840 . . 3 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
13 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
146, 13, 7lspsncl 20361 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
151, 2, 14syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
166, 13, 7lspsncl 20361 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
171, 4, 16syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
18 lsmpr.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
1913, 7, 18lsmsp 20470 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
201, 15, 17, 19syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{π‘Œ}))))
219, 12, 203eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3906   βŠ† wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  LSSumclsm 19345  LModclmod 20245  LSubSpclss 20315  LSpanclspn 20355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356
This theorem is referenced by:  lsppreli  20474  lsmelpr  20475  lsppr0  20476  lspprabs  20479  lspabs2  20504  lspindpi  20516  lsmsat  37365  dvh4dimlem  39801  dvh3dim3N  39807  lclkrlem2c  39867  lcfrlem20  39920  lcfrlem23  39923  mapdindp  40029  mapdindp2  40079  mapdindp4  40081  mapdh6dN  40097  lspindp5  40128  hdmap1l6d  40171  hdmaprnlem3eN  40216
  Copyright terms: Public domain W3C validator