Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem1 19987
 Description: Lemma for lspprat 19993. Let 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ {0}) (if there is no such 𝑥 then 𝑈 is the zero subspace), and let 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) (assuming the conclusion is false). The goal is to write 𝑋, 𝑌 in terms of 𝑥, 𝑦, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 19983 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}), either 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) or 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))

Proof of Theorem lsppratlem1
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
3 lspprat.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
43snssd 4699 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspprat.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
8 lspprat.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
98pssssd 4003 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3870 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑥𝑈)
129, 11sseldd 3893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
13 prcom 4625 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
14 df-pr 4525 . . . . . . . . . 10 {𝑌, 𝑋} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
1513, 14eqtri 2781 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
1615fveq2i 6661 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋}))
1712, 16eleqtrdi 2862 . . . . . . 7 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})))
1817anim1i 617 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
19 eldif 3868 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
2018, 19sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))
21 lspprat.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
22 lspprat.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
23 lspprat.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2421, 22, 23lspsolv 19983 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑌} ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
252, 5, 7, 20, 24syl13anc 1369 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
26 df-pr 4525 . . . . . 6 {𝑌, 𝑥} = ({𝑌} ∪ {𝑥})
27 prcom 4625 . . . . . 6 {𝑌, 𝑥} = {𝑥, 𝑌}
2826, 27eqtr3i 2783 . . . . 5 ({𝑌} ∪ {𝑥}) = {𝑥, 𝑌}
2928fveq2i 6661 . . . 4 (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥, 𝑌})
3025, 29eleqtrdi 2862 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3130ex 416 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
3231orrd 860 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858   ⊊ wpss 3859  {csn 4522  {cpr 4524  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  0gc0g 16771  LSubSpclss 19771  LSpanclspn 19811  LVecclvec 19942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943 This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19991
 Copyright terms: Public domain W3C validator