Theorem lsppratlem1 21249

Description: Lemma for lspprat 21255. Let 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ {0}) (if there is no such 𝑥 then 𝑈 is the zero subspace), and let 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) (assuming the conclusion is false). The goal is to write 𝑋, 𝑌 in terms of 𝑥, 𝑦, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 21245 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}), either 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) or 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))

Proof of Theorem lsppratlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lspprat.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	3	snssd 4757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lspprat.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	8	pssssd 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10		lsppratlem1.x2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
12	9, 11	sseldd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
13		prcom 4703	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
14		df-pr 4597	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑋} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
15	13, 14	eqtri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
16	15	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋}))
17	12, 16	eleqtrdi 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})))
18	17	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
19		eldif 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
20	18, 19	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))
21		lspprat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
22		lspprat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
23		lspprat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
24	21, 22, 23	lspsolv 21245	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
25	2, 5, 7, 20, 24	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
26		df-pr 4597	. . . . . 6 ⊢ {𝑌, 𝑥} = ({𝑌} ∪ {𝑥})
27		prcom 4703	. . . . . 6 ⊢ {𝑌, 𝑥} = {𝑥, 𝑌}
28	26, 27	eqtr3i 2794	. . . . 5 ⊢ ({𝑌} ∪ {𝑥}) = {𝑥, 𝑌}
29	28	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥, 𝑌})
30	25, 29	eleqtrdi 2879	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31	30	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
32	31	orrd 876	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  {csn 4594  {cpr 4596  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  LVecclvec 21201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21253