Theorem lsppratlem5 21344

Description: Lemma for lspprat 21346. Combine the two cases and show a contradiction to 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) under the assumptions on 𝑥 and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem5	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspprat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspprat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lspprat.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
8		lspprat.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspprat.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lspprat.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
14		lsppratlem1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		lsppratlem1.x2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17		lsppratlem1.y2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
19		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19	lsppratlem3 21342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
21	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
22	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
23	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
27	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
28		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
29	1, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28	lsppratlem4 21343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
30	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17	lsppratlem1 21340	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
31	20, 29, 30	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
32	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
34	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
38	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
39		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
40		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
41	1, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40	lsppratlem2 21341	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
42	31, 41	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161  LVecclvec 21292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lvec 21293

This theorem is used by:  lsppratlem6  21345