MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem5 19926
Description: Lemma for lspprat 19928. Combine the two cases and show a contradiction to 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) under the assumptions on 𝑥 and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspprat.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspprat.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lspprat.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈𝑆)
8 lspprat.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
10 lspprat.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
12 lspprat.p . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
14 lsppratlem1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1615adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
19 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 19924 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
214adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈𝑆)
238adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋𝑉)
2410adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
2512adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2615adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2717adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
28 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 19925 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 19922 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
3120, 29, 30mpjaodan 956 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
324adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑊 ∈ LVec)
336adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈𝑆)
348adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋𝑉)
3510adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌𝑉)
3612adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3715adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3817adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
39 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
40 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 19923 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
4231, 41mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3917  wss 3920  wpss 3921  {csn 4551  {cpr 4553  cfv 6344  Basecbs 16486  0gc0g 16716  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  LVecclvec 19877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  19927
  Copyright terms: Public domain W3C validator