MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem5 20992
Description: Lemma for lspprat 20994. Combine the two cases and show a contradiction to π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) under the assumptions on π‘₯ and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppratlem1.x2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
lsppratlem1.y2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspprat.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspprat.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lspprat.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lspprat.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lspprat.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
98adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lspprat.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 lspprat.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
14 lsppratlem1.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
1615adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
1817adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
19 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 20990 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
214adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
226adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
238adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2410adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2512adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2615adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
2717adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
28 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ}))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 20991 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 20988 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∨ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})))
3120, 29, 30mpjaodan 955 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
324adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
336adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
348adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3510adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3612adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3715adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
3817adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
39 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
40 simprr 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 20989 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
4231, 41mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940   ⊊ wpss 3941  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  Basecbs 17143  0gc0g 17384  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  LVecclvec 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  20993
  Copyright terms: Public domain W3C validator