MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem5 20710
Description: Lemma for lspprat 20712. Combine the two cases and show a contradiction to π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) under the assumptions on π‘₯ and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppratlem1.x2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
lsppratlem1.y2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspprat.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspprat.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lspprat.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lspprat.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
8 lspprat.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
98adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lspprat.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1110adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 lspprat.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1312adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
14 lsppratlem1.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
1615adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
1817adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
19 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 20708 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
214adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
226adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
238adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2410adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2512adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2615adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
2717adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
28 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ}))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 20709 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 20706 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∨ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, π‘Œ})))
3120, 29, 30mpjaodan 957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
324adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
336adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
348adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3510adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3612adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3715adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
3817adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
39 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
40 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 20707 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
4231, 41mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  {csn 4621  {cpr 4623  β€˜cfv 6531  Basecbs 17125  0gc0g 17366  LSubSpclss 20488  LSpanclspn 20528  LVecclvec 20659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-tpos 8192  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-0g 17368  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-grp 18796  df-minusg 18797  df-sbg 18798  df-cmn 19613  df-abl 19614  df-mgp 19946  df-ur 19963  df-ring 20015  df-oppr 20101  df-dvdsr 20122  df-unit 20123  df-invr 20153  df-drng 20266  df-lmod 20419  df-lss 20489  df-lsp 20529  df-lvec 20660
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  20711
  Copyright terms: Public domain W3C validator