MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem5 19519
Description: Lemma for lspprat 19521. Combine the two cases and show a contradiction to 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) under the assumptions on 𝑥 and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspprat.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspprat.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lspprat.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
76adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈𝑆)
8 lspprat.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
10 lspprat.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1110adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
12 lspprat.p . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1312adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
14 lsppratlem1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1615adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1817adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
19 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 19517 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
214adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈𝑆)
238adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋𝑉)
2410adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
2512adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2615adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2717adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
28 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 19518 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 19515 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
3120, 29, 30mpjaodan 986 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
324adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑊 ∈ LVec)
336adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈𝑆)
348adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋𝑉)
3510adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌𝑉)
3612adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3715adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3817adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
39 simprl 787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
40 simprr 789 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 19516 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
4231, 41mpdan 678 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cdif 3795  wss 3798  wpss 3799  {csn 4399  {cpr 4401  cfv 6127  Basecbs 16229  0gc0g 16460  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337  LVecclvec 19468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  19520
  Copyright terms: Public domain W3C validator