MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem5 21028
Description: Lemma for lspprat 21030. Combine the two cases and show a contradiction to 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) under the assumptions on 𝑥 and 𝑦. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspprat.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspprat.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lspprat.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈𝑆)
8 lspprat.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
10 lspprat.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
12 lspprat.p . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
14 lsppratlem1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
19 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 21026 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
214adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈𝑆)
238adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋𝑉)
2410adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
2512adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2717adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
28 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 21027 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 21024 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
3120, 29, 30mpjaodan 957 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
324adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑊 ∈ LVec)
336adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈𝑆)
348adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋𝑉)
3510adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌𝑉)
3612adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3715adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3817adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
39 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
40 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 21025 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
4231, 41mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3941  wss 3944  wpss 3945  {csn 4624  {cpr 4626  cfv 6542  Basecbs 17171  0gc0g 17412  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LVecclvec 20976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  21029
  Copyright terms: Public domain W3C validator