Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh4dimN 40621
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40620 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
10 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 40284 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 prssi 4823 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Œ, 𝑍} βŠ† 𝑉)
136, 7, 12syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ, 𝑍} βŠ† 𝑉)
143, 10, 4, 11, 13lspun0 20766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
15 tprot 4752 . . . . . . . . . 10 {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍} = {π‘Œ, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)}
16 df-tp 4632 . . . . . . . . . 10 {π‘Œ, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1715, 16eqtr2i 2759 . . . . . . . . 9 ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍}
18 tpeq1 4745 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍})
1917, 18eqtr4id 2789 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
2019fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
2114, 20sylan9req 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
2221eleq2d 2817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
2322notbid 317 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
2423rexbidv 3176 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
259, 24mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
26 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 40620 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
2827adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
29 prssi 4823 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, 𝑍} βŠ† 𝑉)
3026, 7, 29syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, 𝑍} βŠ† 𝑉)
313, 10, 4, 11, 30lspun0 20766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
32 df-tp 4632 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
33 tpcomb 4754 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍}
3432, 33eqtr3i 2760 . . . . . . . . 9 ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍}
35 tpeq2 4746 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍})
3634, 35eqtr4id 2789 . . . . . . . 8 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
3736fveq2d 6894 . . . . . . 7 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
3831, 37sylan9req 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
3938eleq2d 2817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4039notbid 317 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4140rexbidv 3176 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4228, 41mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 40620 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4443adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
45 prssi 4823 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
4626, 6, 45syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
473, 10, 4, 11, 46lspun0 20766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
48 tpeq3 4747 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {𝑋, π‘Œ, (0gβ€˜π‘ˆ)})
49 df-tp 4632 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
5048, 49eqtr2di 2787 . . . . . . . 8 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
5150fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
5247, 51sylan9req 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
5352eleq2d 2817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5453notbid 317 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5554rexbidv 3176 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5644, 55mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
575adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5826adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
596adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
607adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
61 simpr1 1192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
62 simpr2 1193 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
63 simpr3 1194 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 40617 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 3029 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  0gc0g 17389  LSpanclspn 20726  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator