Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh4dimN 40318
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40317 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 39981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 prssi 4825 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Œ, 𝑍} βŠ† 𝑉)
136, 7, 12syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ, 𝑍} βŠ† 𝑉)
143, 10, 4, 11, 13lspun0 20622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
15 tprot 4754 . . . . . . . . . 10 {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍} = {π‘Œ, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)}
16 df-tp 4634 . . . . . . . . . 10 {π‘Œ, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1715, 16eqtr2i 2762 . . . . . . . . 9 ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍}
18 tpeq1 4747 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {(0gβ€˜π‘ˆ), π‘Œ, 𝑍})
1917, 18eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
2019fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({π‘Œ, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
2114, 20sylan9req 2794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
2221eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
2322notbid 318 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
2423rexbidv 3179 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
259, 24mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
26 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 40317 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
2827adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
29 prssi 4825 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, 𝑍} βŠ† 𝑉)
3026, 7, 29syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, 𝑍} βŠ† 𝑉)
313, 10, 4, 11, 30lspun0 20622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
32 df-tp 4634 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
33 tpcomb 4756 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0gβ€˜π‘ˆ)} = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍}
3432, 33eqtr3i 2763 . . . . . . . . 9 ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍}
35 tpeq2 4748 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {𝑋, (0gβ€˜π‘ˆ), 𝑍})
3634, 35eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
3736fveq2d 6896 . . . . . . 7 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({𝑋, 𝑍} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
3831, 37sylan9req 2794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
3938eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4039notbid 318 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4140rexbidv 3179 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
4228, 41mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 40317 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4443adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
45 prssi 4825 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
4626, 6, 45syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
473, 10, 4, 11, 46lspun0 20622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
48 tpeq3 4749 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋, π‘Œ, 𝑍} = {𝑋, π‘Œ, (0gβ€˜π‘ˆ)})
49 df-tp 4634 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ, (0gβ€˜π‘ˆ)} = ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})
5048, 49eqtr2di 2790 . . . . . . . 8 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {𝑋, π‘Œ, 𝑍})
5150fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜({𝑋, π‘Œ} βˆͺ {(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
5247, 51sylan9req 2794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
5352eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5453notbid 318 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5554rexbidv 3179 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍})))
5644, 55mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑍 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
575adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5826adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
596adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
607adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
61 simpr1 1195 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
62 simpr2 1196 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
63 simpr3 1197 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 40314 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑍 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 3032 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  0gc0g 17385  LSpanclspn 20582  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator