Theorem dvh4dimN 42076

Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimN	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 42075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 41739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
13	6, 7, 12	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
14	3, 10, 4, 11, 13	lspun0 21080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15		tprot 4710	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)}
16		df-tp 4589	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
17	15, 16	eqtr2i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍}
18		tpeq1 4703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍})
19	17, 18	eqtr4id 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
20	19	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
21	14, 20	sylan9req 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
22	21	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
23	22	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
24	23	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
25	9, 24	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	1, 2, 3, 4, 5, 26, 7	dvh3dim 42075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
28	27	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
30	26, 7, 29	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
31	3, 10, 4, 11, 30	lspun0 21080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32		df-tp 4589	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
33		tpcomb 4712	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
34	32, 33	eqtr3i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
35		tpeq2 4704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍})
36	34, 35	eqtr4id 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
37	36	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
38	31, 37	sylan9req 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
39	38	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
40	39	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
41	40	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
42	28, 41	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
43	1, 2, 3, 4, 5, 26, 6	dvh3dim 42075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
44	43	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
46	26, 6, 45	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
47	3, 10, 4, 11, 46	lspun0 21080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48		tpeq3 4705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)})
49		df-tp 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})
50	48, 49	eqtr2di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
51	50	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
52	47, 51	sylan9req 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
53	52	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
54	53	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
55	54	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
56	44, 55	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
57	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	26	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
60	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
61		simpr1 1209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
62		simpr2 1210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
63		simpr3 1211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))
64	1, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63	dvh4dimlem 42072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	25, 42, 56, 64	pm2.61da3ne 3048	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  LSpanclspn 21040  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-0g 17472  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lsatoms 39605  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024

This theorem is referenced by: (None)