Theorem dvh4dimN 42424

Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimN	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 42423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 42087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
13	6, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
14	3, 10, 4, 11, 13	lspun0 21247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15		tprot 4709	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)}
16		df-tp 4588	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
17	15, 16	eqtr2i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍}
18		tpeq1 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍})
19	17, 18	eqtr4id 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
20	19	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
21	14, 20	sylan9req 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
22	21	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
23	22	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
24	23	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
25	9, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	1, 2, 3, 4, 5, 26, 7	dvh3dim 42423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
30	26, 7, 29	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
31	3, 10, 4, 11, 30	lspun0 21247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32		df-tp 4588	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
33		tpcomb 4711	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
34	32, 33	eqtr3i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
35		tpeq2 4703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍})
36	34, 35	eqtr4id 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
37	36	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
38	31, 37	sylan9req 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
39	38	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
40	39	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
41	40	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
42	28, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
43	1, 2, 3, 4, 5, 26, 6	dvh3dim 42423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
44	43	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45		prssi 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
46	26, 6, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
47	3, 10, 4, 11, 46	lspun0 21247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48		tpeq3 4704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)})
49		df-tp 4588	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})
50	48, 49	eqtr2di 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
51	50	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
52	47, 51	sylan9req 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
53	52	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
54	53	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
55	54	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
56	44, 55	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
57	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
60	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
61		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
62		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
63		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))
64	1, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63	dvh4dimlem 42420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	25, 42, 56, 64	pm2.61da3ne 3044	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4583  {cpr 4585  {ctp 4587  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  LSpanclspn 21207  HLchlt 40327  LHypclh 40961  DVecHcdvh 42055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-riotaBAD 39930

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-0g 17573  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-p1 18559  df-lat 18567  df-clat 18634  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-lsm 19811  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-drng 20943  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-lvec 21339  df-lsatoms 39953  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-llines 40475  df-lplanes 40476  df-lvols 40477  df-lines 40478  df-psubsp 40480  df-pmap 40481  df-padd 40773  df-lhyp 40965  df-laut 40966  df-ldil 41081  df-ltrn 41082  df-trl 41136  df-tgrp 41720  df-tendo 41732  df-edring 41734  df-dveca 41980  df-disoa 42006  df-dvech 42056  df-dib 42116  df-dic 42150  df-dih 42206  df-doch 42325  df-djh 42372

This theorem is used by: (None)