Theorem dvh4dimN 37610

Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimN	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 37609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 37273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		prssi 4585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
13	6, 7, 12	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
14	3, 10, 4, 11, 13	lspun0 19417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15		tpeq1 4509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍})
16		tprot 4516	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)}
17		df-tp 4403	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
18	16, 17	eqtr2i 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍}
19	15, 18	syl6reqr 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
20	19	fveq2d 6452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
21	14, 20	sylan9req 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
22	21	eleq2d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
23	22	notbid 310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
24	23	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
25	9, 24	mpbid 224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	1, 2, 3, 4, 5, 26, 7	dvh3dim 37609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
28	27	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29		prssi 4585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
30	26, 7, 29	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
31	3, 10, 4, 11, 30	lspun0 19417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32		tpeq2 4510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍})
33		df-tp 4403	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
34		tpcomb 4518	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
35	33, 34	eqtr3i 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
36	32, 35	syl6reqr 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
37	36	fveq2d 6452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
38	31, 37	sylan9req 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
39	38	eleq2d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
40	39	notbid 310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
41	40	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
42	28, 41	mpbid 224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
43	1, 2, 3, 4, 5, 26, 6	dvh3dim 37609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
44	43	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45		prssi 4585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
46	26, 6, 45	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
47	3, 10, 4, 11, 46	lspun0 19417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48		tpeq3 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)})
49		df-tp 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})
50	48, 49	syl6req 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
51	50	fveq2d 6452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
52	47, 51	sylan9req 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
53	52	eleq2d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
54	53	notbid 310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
55	54	rexbidv 3237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
56	44, 55	mpbid 224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
57	5	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	26	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
60	7	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
61		simpr1 1205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
62		simpr2 1207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
63		simpr3 1209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))
64	1, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63	dvh4dimlem 37606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	25, 42, 56, 64	pm2.61da3ne 3059	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  {csn 4398  {cpr 4400  {ctp 4402  ‘cfv 6137  Basecbs 16266  0_gc0g 16497  LSpanclspn 19377  HLchlt 35513  LHypclh 36147  DVecHcdvh 37241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-lsm 18446  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lvec 19509  df-lsatoms 35139  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tgrp 36906  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-dveca 37166  df-disoa 37192  df-dvech 37242  df-dib 37302  df-dic 37336  df-dih 37392  df-doch 37511  df-djh 37558

This theorem is referenced by: (None)