Theorem dvh4dimN 41744

Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh4dimN	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 41743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 41407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		prssi 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
13	6, 7, 12	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
14	3, 10, 4, 11, 13	lspun0 20966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15		tprot 4707	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)}
16		df-tp 4586	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
17	15, 16	eqtr2i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍}
18		tpeq1 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g‘𝑈), 𝑌, 𝑍})
19	17, 18	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
20	19	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
21	14, 20	sylan9req 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
22	21	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
23	22	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
24	23	rexbidv 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
25	9, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	1, 2, 3, 4, 5, 26, 7	dvh3dim 41743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29		prssi 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
30	26, 7, 29	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
31	3, 10, 4, 11, 30	lspun0 20966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32		df-tp 4586	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})
33		tpcomb 4709	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑍, (0g‘𝑈)} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
34	32, 33	eqtr3i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍}
35		tpeq2 4701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g‘𝑈), 𝑍})
36	34, 35	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
37	36	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
38	31, 37	sylan9req 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
39	38	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
40	39	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
41	40	rexbidv 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
42	28, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
43	1, 2, 3, 4, 5, 26, 6	dvh3dim 41743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45		prssi 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
46	26, 6, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
47	3, 10, 4, 11, 46	lspun0 20966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48		tpeq3 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)})
49		df-tp 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌, (0g‘𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})
50	48, 49	eqtr2di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
51	50	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g‘𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
52	47, 51	sylan9req 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
53	52	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
54	53	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
55	54	rexbidv 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
56	44, 55	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
57	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
58	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
60	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
61		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
62		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
63		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))
64	1, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63	dvh4dimlem 41740	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
65	25, 42, 56, 64	pm2.61da3ne 3022	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4581  {cpr 4583  {ctp 4585  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  LSpanclspn 20926  HLchlt 39647  LHypclh 40281  DVecHcdvh 41375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-riotaBAD 39250

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17365  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lsatoms 39273  df-oposet 39473  df-ol 39475  df-oml 39476  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619  df-hlat 39648  df-llines 39795  df-lplanes 39796  df-lvols 39797  df-lines 39798  df-psubsp 39800  df-pmap 39801  df-padd 40093  df-lhyp 40285  df-laut 40286  df-ldil 40401  df-ltrn 40402  df-trl 40456  df-tgrp 41040  df-tendo 41052  df-edring 41054  df-dveca 41300  df-disoa 41326  df-dvech 41376  df-dib 41436  df-dic 41470  df-dih 41526  df-doch 41645  df-djh 41692

This theorem is referenced by: (None)