Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh4dimN 41430
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh3dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvh3dim2.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 41429 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
10 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g𝑈) = (0g𝑈)
111, 2, 5dvhlmod 41093 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 prssi 4826 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
136, 7, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
143, 10, 4, 11, 13lspun0 21027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
15 tprot 4754 . . . . . . . . . 10 {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍} = {𝑌, 𝑍, (0g𝑈)}
16 df-tp 4636 . . . . . . . . . 10 {𝑌, 𝑍, (0g𝑈)} = ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})
1715, 16eqtr2i 2764 . . . . . . . . 9 ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍}
18 tpeq1 4747 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {(0g𝑈), 𝑌, 𝑍})
1917, 18eqtr4id 2794 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0g𝑈) → ({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
2019fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑌, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
2114, 20sylan9req 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
2221eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
2322notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
2423rexbidv 3177 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
259, 24mpbid 232 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
26 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 41429 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
2827adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
29 prssi 4826 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑍𝑉) → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
3026, 7, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑍} ⊆ 𝑉)
313, 10, 4, 11, 30lspun0 21027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
32 df-tp 4636 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0g𝑈)} = ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})
33 tpcomb 4756 . . . . . . . . . 10 {𝑋, 𝑍, (0g𝑈)} = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍}
3432, 33eqtr3i 2765 . . . . . . . . 9 ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍}
35 tpeq2 4748 . . . . . . . . 9 (𝑌 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, (0g𝑈), 𝑍})
3634, 35eqtr4id 2794 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑈) → ({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
3736fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑌 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑍} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
3831, 37sylan9req 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
3938eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4039notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4140rexbidv 3177 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
4228, 41mpbid 232 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 41429 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4443adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
45 prssi 4826 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4626, 6, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
473, 10, 4, 11, 46lspun0 21027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48 tpeq3 4749 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌, 𝑍} = {𝑋, 𝑌, (0g𝑈)})
49 df-tp 4636 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌, (0g𝑈)} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})
5048, 49eqtr2di 2792 . . . . . . . 8 (𝑍 = (0g𝑈) → ({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)}) = {𝑋, 𝑌, 𝑍})
5150fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑍 = (0g𝑈) → (𝑁‘({𝑋, 𝑌} ∪ {(0g𝑈)})) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
5247, 51sylan9req 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
5352eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5453notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5554rexbidv 3177 . . 3 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍})))
5644, 55mpbid 232 . 2 ((𝜑𝑍 = (0g𝑈)) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
575adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5826adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝑉)
596adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝑉)
607adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑍𝑉)
61 simpr1 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
62 simpr2 1194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
63 simpr3 1195 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → 𝑍 ≠ (0g𝑈))
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 41426 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑍 ≠ (0g𝑈))) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 3029 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cfv 6563  Basecbs 17245  0gc0g 17486  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator