Theorem lspsntri 21010

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntri.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntri.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspsntri.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsntri.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntri	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntri.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsntri.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lspsntri.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspvadd 21009	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5		df-pr 4594	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
6	5	fveq2i 6863	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
7	4, 6	sseqtrdi 3989	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
8		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	9	snssd 4775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	11	snssd 4775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
13		lspsntri.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	1, 3, 13	lsmsp2 21000	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
16	7, 15	sseqtrrd 3986	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3914   ⊆ wss 3916  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  LSSumclsm 19570  LModclmod 20772  LSpanclspn 20883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884

This theorem is referenced by:  lspsntrim  21011  cdlemn4a  41188  lcfrlem23  41554  baerlem5blem2  41701