MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsntri 20696
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntri.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntri.a + = (+g𝑊)
lspsntri.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsntri.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsntri ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntri
StepHypRef Expression
1 lspsntri.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsntri.a . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lspsntri.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspvadd 20695 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5 df-pr 4630 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
65fveq2i 6891 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
74, 6sseqtrdi 4031 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
8 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simp2 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
109snssd 4811 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
11 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1211snssd 4811 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
13 lspsntri.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
141, 3, 13lsmsp2 20686 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
158, 10, 12, 14syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
167, 15sseqtrrd 4022 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3945  wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  LSSumclsm 19495  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571
This theorem is referenced by:  lspsntrim  20697  cdlemn4a  40008  lcfrlem23  40374  baerlem5blem2  40521
  Copyright terms: Public domain W3C validator