Theorem lswccats1 14333

Description: The last symbol of a word concatenated with a singleton word is the symbol of the singleton word. (Contributed by AV, 6-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 22-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswccats1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = 𝑆)

Proof of Theorem lswccats1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		s1cl 14296	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		s1nz 14301	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ ≠ ∅
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑆”⟩ ≠ ∅)
6		lswccatn0lsw 14285	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ≠ ∅) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = (lastS‘⟨“𝑆”⟩))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = (lastS‘⟨“𝑆”⟩))
8		lsws1 14305	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (lastS‘⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
10	7, 9	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4258  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  Word cword 14206  lastSclsw 14254   ++ cconcat 14262  ⟨“cs1 14289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-rp 12720  df-fz 13229  df-fzo 13372  df-hash 14034  df-word 14207  df-lsw 14255  df-concat 14263  df-s1 14290

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  14334  wwlksnextsurj  28252  clwwlkel  28397  clwwlkext2edg  28407  wwlksext2clwwlk  28408  clwwlknonex2  28460  sseqp1  32349