Theorem icombl1 23767

Description: A closed unbounded-above interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icombl1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 10430	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
4		ltpnf 12265	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5		snunioo 12615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
7		snssi 4570	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ⊆ ℝ)
8		ovolsn 23699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
9		nulmbl 23739	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
10	7, 8, 9	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ∈ dom vol)
11		ioombl1 23766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol)
13		unmbl 23741	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ dom vol ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ dom vol)
14	10, 12, 13	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ dom vol)
15	6, 14	eqeltrrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  ℝ^*cxr 10410   < clt 10411  (,)cioo 12487  [,)cico 12489  vol*covol 23666  volcvol 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-xmet 20135  df-met 20136  df-ovol 23668  df-vol 23669

This theorem is referenced by:  icombl  23768  ioombl  23769