Theorem icombl1 25775

Description: A closed unbounded-above interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icombl1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11272	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11280	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
4		ltpnf 13163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5		snunioo 13523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < +∞) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
7		snssi 4753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ⊆ ℝ)
8		ovolsn 25707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐴}) = 0)
9		nulmbl 25747	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴}) = 0) → {𝐴} ∈ dom vol)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ∈ dom vol)
11		ioombl1 25774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol)
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol)
13		unmbl 25749	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ dom vol ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ dom vol) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ dom vol)
14	10, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ dom vol)
15	6, 14	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260  (,)cioo 13390  [,)cico 13392  vol*covol 25674  volcvol 25675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-xmet 21567  df-met 21568  df-ovol 25676  df-vol 25677

This theorem is used by:  icombl  25776  ioombl  25777