Theorem rhmima 20496

Description: The homomorphic image of a subring is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rhmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20377	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2		subrgsubg 20469	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀))
3		ghmima 19153	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁))
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑁) = (mulGrp‘𝑁)
7	5, 6	rhmmhm 20372	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)))
8	5	subrgsubm 20477	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑀)))
9		mhmima 18744	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑀))) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))
11		rhmrcl2 20370	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Ring)
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → 𝑁 ∈ Ring)
13	6	issubrg3 20492	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Ring → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   “ cima 5680  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   MndHom cmhm 18705  SubMndcsubmnd 18706  SubGrpcsubg 19038   GrpHom cghm 19129  mulGrpcmgp 20030  Ringcrg 20129   RingHom crh 20362  SubRingcsubrg 20459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461

This theorem is referenced by:  rnrhmsubrg  20497  imadrhmcl  20558  mpfsubrg  21887  pf1subrg  22089  plypf1  25960  imacrhmcl  41395