Theorem rhmima 20389

Description: The homomorphic image of a subring is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rhmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20255	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2		subrgsubg 20362	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀))
3		ghmima 19108	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑁) = (mulGrp‘𝑁)
7	5, 6	rhmmhm 20251	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)))
8	5	subrgsubm 20369	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑀)))
9		mhmima 18703	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑀))) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))
11		rhmrcl2 20249	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Ring)
12	11	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → 𝑁 ∈ Ring)
13	6	issubrg3 20385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Ring → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑁)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   “ cima 5679  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   MndHom cmhm 18666  SubMndcsubmnd 18667  SubGrpcsubg 18995   GrpHom cghm 19084  mulGrpcmgp 19982  Ringcrg 20050   RingHom crh 20241  SubRingcsubrg 20352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-rnghom 20244  df-subrg 20354

This theorem is referenced by:  rnrhmsubrg  20390  imadrhmcl  20406  mpfsubrg  21658  pf1subrg  21859  plypf1  25718  imacrhmcl  41087