Theorem modn0mul 47808

Description: If an integer is not 0 modulo a positive integer, this integer must be the sum of a multiple of the modulus and a positive integer less than the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
modn0mul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem modn0mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nnne0 12200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 11972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13746	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ)
10		zmodfzo 13842	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
11	10	anim1i 616	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0))
12		fzo1fzo0n0 13659	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0))
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
14		nnrp 12943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	1, 14	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
17		flpmodeq 13822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)) = 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)) = 𝐴)
19	18	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)))
20		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → (𝑥 · 𝑁) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁))
21	20	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦))
22	21	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦)))
23		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 mod 𝑁) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)))
24	23	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 mod 𝑁) → (𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁))))
25	22, 24	rspc2ev 3578	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦))
26	9, 13, 19, 25	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦))
27	26	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   / cdiv 11796  ℕcn 12163  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ..^cfzo 13597  ⌊cfl 13738   mod cmo 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818

This theorem is referenced by:  m1modmmod  47809