Theorem modn0mul 47471

Description: If an integer is not 0 modulo a positive integer, this integer must be the sum of a multiple of the modulus and a positive integer less than the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
modn0mul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem modn0mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12482	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nnne0 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 11959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ)
10		zmodfzo 13808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
11	10	anim1i 615	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0))
12		fzo1fzo0n0 13625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0))
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
14		nnrp 12912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	1, 14	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
17		flpmodeq 13788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)) = 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)) = 𝐴)
19	18	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)))
20		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → (𝑥 · 𝑁) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁))
21	20	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦))
22	21	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) → (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦)))
23		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 mod 𝑁) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁)))
24	23	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 mod 𝑁) → (𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + 𝑦) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁))))
25	22, 24	rspc2ev 3587	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑁) + (𝐴 mod 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦))
26	9, 13, 19, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦))
27	26	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   / cdiv 11784  ℕcn 12135  ℤcz 12478  ℝ⁺crp 12900  ..^cfzo 13564  ⌊cfl 13704   mod cmo 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784

This theorem is referenced by:  m1modmmod  47472