MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddmulmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modaddmulmod 13930
Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmulmod (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))

Proof of Theorem modaddmulmod
StepHypRef Expression
1 recn 11223 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
64, 5modcld 13867 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
76recnd 11267 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
8 zcn 12588 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
983ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
117, 10mulcld 11259 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
123, 11addcomd 11441 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) = (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด))
1312oveq1d 7428 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
14 zre 12587 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15143ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
176, 16remulcld 11269 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
18 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1914adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2018, 19remulcld 11269 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
21203adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2221adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2322, 5modcld 13867 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
24 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2524anim1i 613 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+))
26 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
27 modmulmod 13928 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
284, 26, 5, 27syl3anc 1368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
29 remulcl 11218 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3014, 29sylan2 591 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
31303adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
32 modabs2 13897 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
3331, 32sylan 578 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
3428, 33eqtr4d 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€))
35 modadd1 13900 . . 3 (((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
3617, 23, 25, 34, 35syl211anc 1373 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
3731adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3824adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
39 modaddmod 13902 . . . 4 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
4037, 38, 5, 39syl3anc 1368 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
41 recn 11223 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11217 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4341, 8, 42syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
44433adant1 1127 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4544, 2addcomd 11441 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
4645adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
4746oveq1d 7428 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
4840, 47eqtrd 2765 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
4913, 36, 483eqtrd 2769 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132   + caddc 11136   ยท cmul 11138  โ„คcz 12583  โ„+crp 13001   mod cmo 13861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fl 13784  df-mod 13862
This theorem is referenced by:  modprm0  16768  modprmn0modprm0  16770
  Copyright terms: Public domain W3C validator