Theorem modaddmulmod 13989

Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmulmod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
6	4, 5	modcld 13926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8		zcn 12644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
12	3, 11	addcomd 11492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
13	12	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
14		zre 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
17	6, 16	remulcld 11320	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ)
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	20	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 5	modcld 13926	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ)
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	anim1i 614	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
26		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℤ)
27		modmulmod 13987	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
28	4, 26, 5, 27	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
29		remulcl 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30	14, 29	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32		modabs2 13956	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
33	31, 32	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
34	28, 33	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
35		modadd1 13959	. . 3 ⊢ (((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
36	17, 23, 25, 34, 35	syl211anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
37	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
38	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		modaddmod 13961	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
40	37, 38, 5, 39	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
41		recn 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42		mulcl 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	41, 8, 42	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
44	43	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
45	44, 2	addcomd 11492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
47	46	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
48	40, 47	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
49	13, 36, 48	3eqtrd 2784	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   · cmul 11189  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  modprm0  16852  modprmn0modprm0  16854