MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddmulmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modaddmulmod 13921
Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmulmod (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))

Proof of Theorem modaddmulmod
StepHypRef Expression
1 recn 11214 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
213ad2ant1 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpl2 1190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
64, 5modcld 13858 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
76recnd 11258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
8 zcn 12579 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
983ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
117, 10mulcld 11250 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
123, 11addcomd 11432 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) = (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด))
1312oveq1d 7429 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
14 zre 12578 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15143ad2ant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
176, 16remulcld 11260 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
18 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1914adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2018, 19remulcld 11260 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
21203adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2221adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2322, 5modcld 13858 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
24 simp1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2524anim1i 614 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+))
26 simpl3 1191 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
27 modmulmod 13919 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
284, 26, 5, 27syl3anc 1369 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
29 remulcl 11209 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3014, 29sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
31303adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
32 modabs2 13888 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
3331, 32sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€))
3428, 33eqtr4d 2770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€))
35 modadd1 13891 . . 3 (((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) mod ๐‘€)) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
3617, 23, 25, 34, 35syl211anc 1374 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
3731adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3824adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
39 modaddmod 13893 . . . 4 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
4037, 38, 5, 39syl3anc 1369 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€))
41 recn 11214 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11208 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4341, 8, 42syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
44433adant1 1128 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4544, 2addcomd 11432 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
4645adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) = (๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)))
4746oveq1d 7429 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต ยท ๐ถ) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
4840, 47eqtrd 2767 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
4913, 36, 483eqtrd 2771 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + ((๐ต mod ๐‘€) ยท ๐ถ)) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐ต ยท ๐ถ)) mod ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123   + caddc 11127   ยท cmul 11129  โ„คcz 12574  โ„+crp 12992   mod cmo 13852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853
This theorem is referenced by:  modprm0  16759  modprmn0modprm0  16761
  Copyright terms: Public domain W3C validator