Theorem modaddmulmod 13866

Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmulmod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11121	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
6	4, 5	modcld 13800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11165	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8		zcn 12498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11157	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
12	3, 11	addcomd 11340	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
13	12	oveq1d 7376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
14		zre 12497	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
17	6, 16	remulcld 11167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ)
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	20	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 5	modcld 13800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ)
24		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	anim1i 616	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
26		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℤ)
27		modmulmod 13864	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
28	4, 26, 5, 27	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
29		remulcl 11116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30	14, 29	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32		modabs2 13830	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
33	31, 32	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
34	28, 33	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
35		modadd1 13833	. . 3 ⊢ (((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
36	17, 23, 25, 34, 35	syl211anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
37	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
38	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		modaddmod 13837	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
40	37, 38, 5, 39	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
41		recn 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42		mulcl 11115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	41, 8, 42	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
44	43	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
45	44, 2	addcomd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
47	46	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
48	40, 47	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
49	13, 36, 48	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030   + caddc 11034   · cmul 11036  ℤcz 12493  ℝ⁺crp 12910   mod cmo 13794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fl 13717  df-mod 13795

This theorem is referenced by:  modprm0  16738  modprmn0modprm0  16740