Theorem modaddmulmod 13494

Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmulmod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
6	4, 5	modcld 13431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10844	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8		zcn 12164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 10836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
12	3, 11	addcomd 11017	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
13	12	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
14		zre 12163	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
17	6, 16	remulcld 10846	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ)
18		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	14	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 10846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	20	3adant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 5	modcld 13431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ)
24		simp1 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	anim1i 618	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
26		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℤ)
27		modmulmod 13492	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
28	4, 26, 5, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
29		remulcl 10797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30	14, 29	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	3adant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32		modabs2 13461	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
33	31, 32	sylan 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
34	28, 33	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
35		modadd1 13464	. . 3 ⊢ (((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
36	17, 23, 25, 34, 35	syl211anc 1378	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
37	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
38	24	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		modaddmod 13466	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
40	37, 38, 5, 39	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
41		recn 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42		mulcl 10796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	41, 8, 42	syl2an 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
44	43	3adant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
45	44, 2	addcomd 11017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
46	45	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
47	46	oveq1d 7217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
48	40, 47	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
49	13, 36, 48	3eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711   + caddc 10715   · cmul 10717  ℤcz 12159  ℝ⁺crp 12569   mod cmo 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-inf 9048  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-fl 13350  df-mod 13426

This theorem is referenced by:  modprm0  16339  modprmn0modprm0  16341