Theorem modaddmulmod 13704

Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmulmod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
6	4, 5	modcld 13641	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11049	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8		zcn 12370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11041	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
12	3, 11	addcomd 11223	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
13	12	oveq1d 7322	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
14		zre 12369	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	15	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
17	6, 16	remulcld 11051	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ)
18		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	14	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
21	20	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 5	modcld 13641	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ)
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	anim1i 616	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
26		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℤ)
27		modmulmod 13702	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
28	4, 26, 5, 27	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
29		remulcl 11002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30	14, 29	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32		modabs2 13671	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
33	31, 32	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
34	28, 33	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
35		modadd1 13674	. . 3 ⊢ (((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
36	17, 23, 25, 34, 35	syl211anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
37	31	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
38	24	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		modaddmod 13676	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
40	37, 38, 5, 39	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
41		recn 11007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42		mulcl 11001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	41, 8, 42	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
44	43	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
45	44, 2	addcomd 11223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
46	45	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
47	46	oveq1d 7322	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
48	40, 47	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
49	13, 36, 48	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  ℝcr 10916   + caddc 10920   · cmul 10922  ℤcz 12365  ℝ⁺crp 12776   mod cmo 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fl 13558  df-mod 13636

This theorem is referenced by:  modprm0  16551  modprmn0modprm0  16553