Theorem modprmn0modprm0 16705

Description: For an integer not being 0 modulo a given prime number and a nonnegative integer less than the prime number, there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprmn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprmn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
4	2, 3	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
5	4	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
6	5	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
7		fzo1fzo0n0 13648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ↔ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0))
8	7	simplbi2com 503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ≠ 0 → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
10	6, 9	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
12		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑃))
13		nnnn0modprm0 16704	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
14	1, 11, 12, 13	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
15		elfzoelz 13597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℂ)
17	2	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
18		zmodcl 13821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
19		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
23		mulcom 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
24	16, 22, 23	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
25	24	oveq2d 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) = (𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)))
26	25	oveq1d 7392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃))
27		elfzoelz 13597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
28	27	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℝ)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		zre 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	2	nnrpd 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
40		modaddmulmod 13868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
41	30, 34, 35, 39, 40	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
42		zcn 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
46	45	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
47	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
49	48	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
50	49	oveq2d 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
52	26, 41, 51	3eqtrrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃))
53	52	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
54	53	rexbidva 3175	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
55	14, 54	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
56	55	ex 413	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕcn 12177  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12523  ℝ⁺crp 12939  ..^cfzo 13592   mod cmo 13799  ℙcprime 16573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-dvds 16163  df-gcd 16401  df-prm 16574  df-phi 16664

This theorem is referenced by:  cshwsidrepsw  16992