Theorem modprmn0modprm0 16536

Description: For an integer not being 0 modulo a given prime number and a nonnegative integer less than the prime number, there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprmn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprmn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
4	2, 3	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
5	4	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
6	5	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
7		fzo1fzo0n0 13466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ↔ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0))
8	7	simplbi2com 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ≠ 0 → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
9	8	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
10	6, 9	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑃))
13		nnnn0modprm0 16535	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
14	1, 11, 12, 13	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
15		elfzoelz 13415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℂ)
17	2	anim1ci 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
18		zmodcl 13639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
19		nn0cn 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
21	20	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
23		mulcom 10985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
24	16, 22, 23	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
25	24	oveq2d 7311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) = (𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)))
26	25	oveq1d 7310	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃))
27		elfzoelz 13415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
28	27	zred 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℝ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		zre 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℤ)
36	2	nnrpd 12798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
40		modaddmulmod 13686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
41	30, 34, 35, 39, 40	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
42		zcn 12352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℂ)
45	43, 44	mulcomd 11024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
47	46	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
49	48	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
50	49	oveq2d 7311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)))
51	50	oveq1d 7310	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
52	26, 41, 51	3eqtrrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃))
53	52	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
54	53	rexbidva 3167	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
55	14, 54	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
56	55	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  ℝcr 10898  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904  ℕcn 12001  ℕ₀cn0 12261  ℤcz 12347  ℝ⁺crp 12758  ..^cfzo 13410   mod cmo 13617  ℙcprime 16404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-oadd 8321  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-dju 9687  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-xnn0 12334  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811  df-hash 14073  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-gcd 16230  df-prm 16405  df-phi 16495

This theorem is referenced by:  cshwsidrepsw  16823