Theorem modcld 13674

Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
modcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem modcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		modcl 13672	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7316  ℝcr 10949  ℝ⁺crp 12809   mod cmo 13668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fl 13591  df-mod 13669

This theorem is referenced by:  modmulmodr  13736  modaddmulmod  13737  digit1  14031  bitsmod  16219  bitsinv1lem  16224  eulerthlem2  16557  vfermltlALT  16577  4sqlem5  16717  4sqlem6  16718  4sqlem10  16722  lgsvalmod  26544  irrapxlem2  40866  irrapxlem3  40867  modabsdifz  41030  jm2.19  41037  sineq0ALT  42796  lefldiveq  43085  ltmod  43434  dirkertrigeq  43897  sqwvfoura  44024  sqwvfourb  44025  fouriersw  44027  m1mod0mod1  45091  fsummmodsndifre  45096  fpprwppr  45461  m1modmmod  46137  difmodm1lt  46138  dignn0flhalflem1  46231