Theorem modcld 13786

Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
modcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem modcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		modcl 13784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  ℝ⁺crp 12896   mod cmo 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-mod 13781

This theorem is referenced by:  modmulmodr  13851  modaddmulmod  13852  digit1  14151  bitsmod  16354  bitsinv1lem  16359  eulerthlem2  16700  vfermltlALT  16721  4sqlem5  16861  4sqlem6  16862  4sqlem10  16866  lgsvalmod  27274  irrapxlem2  42980  irrapxlem3  42981  modabsdifz  43143  jm2.19  43150  sineq0ALT  45093  lefldiveq  45456  ltmod  45798  dirkertrigeq  46261  sqwvfoura  46388  sqwvfourb  46389  fouriersw  46391  m1mod0mod1  47516  m1modmmod  47520  difmodm1lt  47521  fsummmodsndifre  47536  fpprwppr  47901  dignn0flhalflem1  48777