Theorem modcld 14020

Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
modcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem modcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		modcl 14018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  ℝ⁺crp 13125   mod cmo 14014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fl 13937  df-mod 14015

This theorem is used by:  modmulmodr  14085  modaddmulmod  14086  digit1  14386  bitsmod  16613  bitsinv1lem  16618  eulerthlem2  16966  vfermltlALT  16987  4sqlem5  17127  4sqlem6  17128  4sqlem10  17132  lgsvalmod  27650  irrapxlem2  43937  irrapxlem3  43938  modabsdifz  44100  jm2.19  44107  sineq0ALT  46026  lefldiveq  46415  ltmod  46755  dirkertrigeq  47218  sqwvfoura  47345  sqwvfourb  47346  fouriersw  47348  m1mod0mod1  48537  m1modmmod  48541  difmodm1lt  48542  fsummmodsndifre  48559  fpprwppr  48944  dignn0flhalflem1  49834