Theorem modeqmodmin 14008

Description: A real number equals the difference of the real number and a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modeqmodmin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Proof of Theorem modeqmodmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modid0 13961	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
3		modge0 13943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
4	2, 3	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀))
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 13054	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9		modsubdir 14007	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
11	4, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
12	2	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 = (𝑀 mod 𝑀))
13	12	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
14		modcl 13937	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = (𝐴 mod 𝑀))
17	11, 13, 16	3eqtr2rd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℝ⁺crp 13045   mod cmo 13933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fl 13856  df-mod 13934

This theorem is used by:  cshwsublen  14870  nnpw2pmod  49516