Theorem modeqmodmin 13850

Description: A real number equals the difference of the real number and a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modeqmodmin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Proof of Theorem modeqmodmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modid0 13803	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
3		modge0 13785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
4	2, 3	eqbrtrd 5115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀))
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 12901	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9		modsubdir 13849	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
11	4, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
12	2	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 = (𝑀 mod 𝑀))
13	12	oveq2d 7368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
14		modcl 13779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = (𝐴 mod 𝑀))
17	11, 13, 16	3eqtr2rd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℝ⁺crp 12892   mod cmo 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fl 13698  df-mod 13776

This theorem is referenced by:  cshwsublen  14705  nnpw2pmod  48708