Theorem modeqmodmin 13310

Description: A real number equals the difference of the real number and a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modeqmodmin	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Proof of Theorem modeqmodmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modid0 13266	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2	1	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
3		modge0 13248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
4	2, 3	eqbrtrd 5088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀))
5		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 12398	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9		modsubdir 13309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
11	4, 10	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
12	2	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 = (𝑀 mod 𝑀))
13	12	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
14		modcl 13242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10669	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	subid1d 10986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = (𝐴 mod 𝑀))
17	11, 13, 16	3eqtr2rd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℝ⁺crp 12390   mod cmo 13238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239

This theorem is referenced by:  cshwsublen  14158  nnpw2pmod  44663