Theorem cshwsublen 14700

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsublen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2		zcn 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	subid1d 11458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
5	1, 4	sylan9eq 2786	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (♯‘𝑊)))
7	6	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
9		zre 12469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		lencl 14437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12		elnnne0 12392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
13		nnrp 12899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
18	17	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19		modeqmodmin 13845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
20	10, 18, 19	syl2an2 686	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
22		cshwmodn 14699	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25	11	nn0zd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26		zsubcl 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
27	25, 26	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
28	27	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
29	24, 28	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
31		cshwmodn 14699	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
33	21, 23, 32	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
34	33	ex 412	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
35	8, 34	pm2.61ine 3011	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   − cmin 11341  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887   mod cmo 13770  ♯chash 14234  Word cword 14417   cyclShift ccsh 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-substr 14546  df-pfx 14576  df-csh 14693

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14729  cshwcsh2id  14732