Theorem cshwsublen 14509

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsublen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	subid1d 11321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
5	1, 4	sylan9eq 2798	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (♯‘𝑊)))
7	6	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
8	7	ex 413	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
9		zre 12323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		lencl 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12		elnnne0 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
13		nnrp 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
18	17	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19		modeqmodmin 13661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
20	10, 18, 19	syl2an2 683	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
22		cshwmodn 14508	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
23	22	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
24		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25	11	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26		zsubcl 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
27	25, 26	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
28	27	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
29	24, 28	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
31		cshwmodn 14508	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
33	21, 23, 32	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
34	33	ex 413	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
35	8, 34	pm2.61ine 3028	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  ♯chash 14044  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-csh 14502

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14538  cshwcsh2id  14541