MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsublen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsublen 14149
Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwsublen ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen
StepHypRef Expression
1 oveq2 7148 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2 zcn 11974 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32subid1d 10975 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
43adantl 485 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
51, 4sylan9eq 2877 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = 𝑁)
65eqcomd 2828 . . . 4 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (♯‘𝑊)))
76oveq2d 7156 . . 3 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
87ex 416 . 2 ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
9 zre 11973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109adantl 485 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11 lencl 13876 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12 elnnne0 11899 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
13 nnrp 12388 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
1412, 13sylbir 238 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
1514ex 416 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
1817impcom 411 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19 modeqmodmin 13304 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
2010, 18, 19syl2an2 685 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
2120oveq2d 7156 . . . 4 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
22 cshwmodn 14148 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
2322adantl 485 . . . 4 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
24 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2511nn0zd 12073 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26 zsubcl 12012 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
2725, 26sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
2827ancoms 462 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
2924, 28jca 515 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
3029adantl 485 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
31 cshwmodn 14148 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
3230, 31syl 17 . . . 4 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
3321, 23, 323eqtr4d 2867 . . 3 (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
3433ex 416 . 2 ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
358, 34pm2.61ine 3094 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  cmin 10859  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377   mod cmo 13232  chash 13686  Word cword 13857   cyclShift ccsh 14141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14178  cshwcsh2id  14181
  Copyright terms: Public domain W3C validator