Theorem cshwsublen 14832

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsublen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	subid1d 11557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
4	3	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
5	1, 4	sylan9eq 2824	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (♯‘𝑊)))
7	6	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
8	7	ex 417	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
9		zre 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		lencl 14569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12		elnnne0 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
13		nnrp 13027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
16	11, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+))
18	17	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19		modeqmodmin 13976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
20	10, 18, 19	syl2an2 698	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))
21	20	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
22		cshwmodn 14831	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
24		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25	11	nn0zd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
26		zsubcl 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
27	25, 26	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
28	27	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
29	24, 28	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
30	29	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ))
31		cshwmodn 14831	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
32	30, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))))
33	21, 23, 32	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))
34	33	ex 417	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊)))))
35	8, 34	pm2.61ine 3047	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099   − cmin 11440  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015   mod cmo 13901  ♯chash 14365  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-csh 14825

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14861  cshwcsh2id  14864