Theorem nnpw2pmod 49639

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" less than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2pmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12323	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2nn 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		blennnelnn 49632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12628	. . . . . . . 8 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	3, 6	nnexpcld 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9		modeqmodmin 14064	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
11	7	nnred 12331	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11725	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13		nnpw2blen 49636	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
14	1, 11	subge0d 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
15	1, 11, 11	ltsubadd2d 11895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
16		2cn 12399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		exp1 14190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
18	17	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
19	16, 18	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
20	19	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
21	7	nncnd 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	2timesd 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
23	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24		1nn0 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
26	23, 6, 25	expaddd 14271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
27		1cnd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
29	27, 28	pncan3d 11653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b‘𝑁) − 1)) = (#b‘𝑁))
30	29	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
31	26, 30	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
32	20, 22, 31	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
33	32	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
34	15, 33	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
35	14, 34	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))))
36	13, 35	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
37		modid 14016	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
38	12, 8, 36, 37	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
39	10, 38	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
40		nncn 12324	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		nnz 12695	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41, 7	zmodcld 14012	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
43	42	nn0cnd 12650	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
44	40, 21, 43	subaddd 11668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁))
45	39, 44	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁)
46	45	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℝ⁺crp 13101   mod cmo 13989  ↑cexp 14184  #_bcblen 49625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867  df-logb 27075  df-blen 49626

This theorem is used by:  nnpw2p  49642