Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2pmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2pmod 44992
Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2pmod (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod
StepHypRef Expression
1 nnre 11632 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 2nn 11698 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 blennnelnn 44985 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11926 . . . . . . . 8 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
73, 6nnexpcld 13602 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnrpd 12417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9 modeqmodmin 13304 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
101, 8, 9syl2anc 587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
117nnred 11640 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 11057 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13 nnpw2blen 44989 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
141, 11subge0d 11219 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
151, 11, 11ltsubadd2d 11227 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1)))))
16 2cn 11700 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
17 exp1 13431 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1817eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
2019oveq1d 7150 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
217nncnd 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22212timesd 11868 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))))
2316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2623, 6, 25expaddd 13508 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
27 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
284nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℂ)
2927, 28pncan3d 10989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b𝑁) − 1)) = (#b𝑁))
3029oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3126, 30eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3220, 22, 313eqtr3d 2841 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3332breq2d 5042 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3415, 33bitrd 282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3514, 34anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁)))))
3613, 35mpbird 260 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))))
37 modid 13259 . . . . 5 ((((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3812, 8, 36, 37syl21anc 836 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3910, 38eqtr2d 2834 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
40 nncn 11633 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 nnz 11992 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4241, 7zmodcld 13255 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
4342nn0cnd 11945 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
4440, 21, 43subaddd 11004 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁))
4539, 44mpbid 235 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁)
4645eqcomd 2804 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  +crp 12377   mod cmo 13232  cexp 13425  #bcblen 44978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-cxp 25149  df-logb 25351  df-blen 44979
This theorem is referenced by:  nnpw2p  44995
  Copyright terms: Public domain W3C validator