Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2pmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2pmod 48433
Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2pmod (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod
StepHypRef Expression
1 nnre 12271 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 2nn 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 blennnelnn 48426 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 12565 . . . . . . . 8 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
73, 6nnexpcld 14281 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnrpd 13073 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9 modeqmodmin 13979 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
117nnred 12279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 11689 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13 nnpw2blen 48430 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
141, 11subge0d 11851 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
151, 11, 11ltsubadd2d 11859 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1)))))
16 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
17 exp1 14105 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1817eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
217nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22212timesd 12507 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))))
2316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2623, 6, 25expaddd 14185 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
27 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
284nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℂ)
2927, 28pncan3d 11621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b𝑁) − 1)) = (#b𝑁))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3126, 30eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3220, 22, 313eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3332breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3415, 33bitrd 279 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3514, 34anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁)))))
3613, 35mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))))
37 modid 13933 . . . . 5 ((((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3812, 8, 36, 37syl21anc 838 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3910, 38eqtr2d 2776 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
40 nncn 12272 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 nnz 12632 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4241, 7zmodcld 13929 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
4342nn0cnd 12587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
4440, 21, 43subaddd 11636 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁))
4539, 44mpbid 232 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁)
4645eqcomd 2741 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099  #bcblen 48419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823  df-blen 48420
This theorem is referenced by:  nnpw2p  48436
  Copyright terms: Public domain W3C validator