Theorem nnpw2pmod 42945

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2pmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11312	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2nn 11462	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		blennnelnn 42938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 11600	. . . . . . . 8 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	3, 6	nnexpcld 13253	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12084	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9		modeqmodmin 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
10	1, 8, 9	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
11	7	nnred 11320	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 10743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13		nnpw2blen 42942	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
14	1, 11	subge0d 10902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
15	1, 11, 11	ltsubadd2d 10910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
16		2cn 11375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		exp1 13089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
18	17	eqcomd 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
19	16, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
20	19	oveq1d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
21	7	nncnd 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	2timesd 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
23	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24		1nn0 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
26	23, 6, 25	expaddd 13233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
27		1cnd 10320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
29	27, 28	pncan3d 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b‘𝑁) − 1)) = (#b‘𝑁))
30	29	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
31	26, 30	eqtr3d 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
32	20, 22, 31	3eqtr3d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
33	32	breq2d 4856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
34	15, 33	bitrd 270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
35	14, 34	anbi12d 618	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))))
36	13, 35	mpbird 248	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
37		modid 12919	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
38	12, 8, 36, 37	syl21anc 857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
39	10, 38	eqtr2d 2841	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
40		nncn 11313	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		nnz 11665	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41, 7	zmodcld 12915	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
43	42	nn0cnd 11619	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
44	40, 21, 43	subaddd 10695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁))
45	39, 44	mpbid 223	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁)
46	45	eqcomd 2812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   class class class wbr 4844  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  ℂcc 10219  ℝcr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226   < clt 10359   ≤ cle 10360   − cmin 10551  ℕcn 11305  2c2 11356  ℕ₀cn0 11559  ℝ⁺crp 12046   mod cmo 12892  ↑cexp 13083  #_bcblen 42931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845  df-log 24517  df-cxp 24518  df-logb 24717  df-blen 42932

This theorem is referenced by:  nnpw2p  42948