Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2pmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2pmod 47544
Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2pmod (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod
StepHypRef Expression
1 nnre 12223 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
4 blennnelnn 47537 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
5 nnm1nn0 12517 . . . . . . . 8 ((#bโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
73, 6nnexpcld 14213 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
87nnrpd 13020 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
9 modeqmodmin 13912 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
101, 8, 9syl2anc 583 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
117nnred 12231 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
121, 11resubcld 11646 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
13 nnpw2blen 47541 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < (2โ†‘(#bโ€˜๐‘))))
141, 11subge0d 11808 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โ†” (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โ‰ค ๐‘))
151, 11, 11ltsubadd2d 11816 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) < (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ < ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))))
16 2cn 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
17 exp1 14038 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘1) = 2)
1817eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 = (2โ†‘1))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 = (2โ†‘1))
2019oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
217nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
22212timesd 12459 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
2316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
24 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
2623, 6, 25expaddd 14118 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(1 + ((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
27 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
284nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#bโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
2927, 28pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + ((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) = (#bโ€˜๐‘))
3029oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(1 + ((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (2โ†‘(#bโ€˜๐‘)))
3126, 30eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘1) ยท (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (2โ†‘(#bโ€˜๐‘)))
3220, 22, 313eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (2โ†‘(#bโ€˜๐‘)))
3332breq2d 5153 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ < ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โ†” ๐‘ < (2โ†‘(#bโ€˜๐‘))))
3415, 33bitrd 279 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) < (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ < (2โ†‘(#bโ€˜๐‘))))
3514, 34anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆง (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) < (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ < (2โ†‘(#bโ€˜๐‘)))))
3613, 35mpbird 257 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆง (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) < (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
37 modid 13867 . . . . 5 ((((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆง (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) < (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
3812, 8, 36, 37syl21anc 835 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
3910, 38eqtr2d 2767 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))))
40 nncn 12224 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
41 nnz 12583 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4241, 7zmodcld 13863 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
4342nn0cnd 12538 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
4440, 21, 43subaddd 11593 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) = (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))) = ๐‘))
4539, 44mpbid 231 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))) = ๐‘)
4645eqcomd 2732 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = ((2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)) + (๐‘ mod (2โ†‘((#bโ€˜๐‘) โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12980   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032  #bcblen 47530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-logb 26652  df-blen 47531
This theorem is referenced by:  nnpw2p  47547
  Copyright terms: Public domain W3C validator