Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2pmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2pmod 42905
Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2pmod (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod
StepHypRef Expression
1 nnre 11229 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 2nn 11387 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 blennnelnn 42898 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11536 . . . . . . . 8 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
73, 6nnexpcld 13237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnrpd 12073 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9 modeqmodmin 12948 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
101, 8, 9syl2anc 573 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
117nnred 11237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 10660 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13 nnpw2blen 42902 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
141, 11subge0d 10819 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
151, 11, 11ltsubadd2d 10827 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1)))))
16 2cn 11293 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
17 exp1 13073 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1817eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
2019oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
217nncnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22212timesd 11477 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))))
2316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24 1nn0 11510 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2623, 6, 25expaddd 13217 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
27 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
284nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℂ)
2927, 28pncan3d 10597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b𝑁) − 1)) = (#b𝑁))
3029oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3126, 30eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3220, 22, 313eqtr3d 2813 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3332breq2d 4798 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3415, 33bitrd 268 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3514, 34anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁)))))
3613, 35mpbird 247 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))))
37 modid 12903 . . . . 5 ((((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3812, 8, 36, 37syl21anc 1475 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3910, 38eqtr2d 2806 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
40 nncn 11230 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 nnz 11601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4241, 7zmodcld 12899 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
4342nn0cnd 11555 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
4440, 21, 43subaddd 10612 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁))
4539, 44mpbid 222 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁)
4645eqcomd 2777 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  +crp 12035   mod cmo 12876  cexp 13067  #bcblen 42891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525  df-logb 24724  df-blen 42892
This theorem is referenced by:  nnpw2p  42908
  Copyright terms: Public domain W3C validator