Theorem nnpw2pmod 45817

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2pmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2nn 11976	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		blennnelnn 45810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12204	. . . . . . . 8 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	3, 6	nnexpcld 13888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12699	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9		modeqmodmin 13589	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
10	1, 8, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
11	7	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11333	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13		nnpw2blen 45814	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
14	1, 11	subge0d 11495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
15	1, 11, 11	ltsubadd2d 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
16		2cn 11978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		exp1 13716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
18	17	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
19	16, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
20	19	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
21	7	nncnd 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	2timesd 12146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
23	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24		1nn0 12179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
26	23, 6, 25	expaddd 13794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
27		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
29	27, 28	pncan3d 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b‘𝑁) − 1)) = (#b‘𝑁))
30	29	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
31	26, 30	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
32	20, 22, 31	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
33	32	breq2d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
34	15, 33	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
35	14, 34	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))))
36	13, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
37		modid 13544	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
38	12, 8, 36, 37	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
39	10, 38	eqtr2d 2779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
40		nncn 11911	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		nnz 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41, 7	zmodcld 13540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
43	42	nn0cnd 12225	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
44	40, 21, 43	subaddd 11280	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁))
45	39, 44	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁)
46	45	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  #_bcblen 45803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618  df-logb 25820  df-blen 45804

This theorem is referenced by:  nnpw2p  45820