Theorem nnpw2pmod 49404

Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" less than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnpw2pmod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2nn 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		blennnelnn 49397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12563	. . . . . . . 8 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	3, 6	nnexpcld 14301	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13076	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9		modeqmodmin 13997	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
11	7	nnred 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13		nnpw2blen 49401	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
14	1, 11	subge0d 11822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
15	1, 11, 11	ltsubadd2d 11830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
16		2cn 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		exp1 14123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
18	17	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
19	16, 18	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
20	19	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
21	7	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22	21	2timesd 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
23	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24		1nn0 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
26	23, 6, 25	expaddd 14204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
27		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
28	4	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
29	27, 28	pncan3d 11590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b‘𝑁) − 1)) = (#b‘𝑁))
30	29	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
31	26, 30	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
32	20, 22, 31	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (2↑(#b‘𝑁)))
33	32	breq2d 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
34	15, 33	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁))))
35	14, 34	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑(#b‘𝑁)))))
36	13, 35	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
37		modid 13949	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) < (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
38	12, 8, 36, 37	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
39	10, 38	eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))))
40		nncn 12259	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		nnz 12630	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41, 7	zmodcld 13945	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
43	42	nn0cnd 12585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
44	40, 21, 43	subaddd 11605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁))
45	39, 44	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 𝑁)
46	45	eqcomd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b‘𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922  ↑cexp 14117  #_bcblen 49390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759  df-logb 26967  df-blen 49391

This theorem is used by:  nnpw2p  49407