Theorem modifeq2int 13581

Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modifeq2int	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem modifeq2int

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnrp 12670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
4	3	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
5		nn0ge0 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		modid 13544	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
10	4, 8, 9	syl2an2 682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
11		iftrue 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
12	11	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵))))
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
17		nnre 11910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
18		lenlt 10984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
19	17, 1, 18	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
20	19	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21	20	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (2 · 𝐵))
23		2submod 13580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
24	16, 21, 22, 23	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
25		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
27	26	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
28	24, 27	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
29	28	expcom 413	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵))))
30	15, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518

This theorem is referenced by: (None)