Theorem modifeq2int 13886

Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modifeq2int	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem modifeq2int

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnrp 12945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
4	3	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
5		nn0ge0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
8	7	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		modid 13846	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
10	4, 8, 9	syl2an2 687	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
11		iftrue 4473	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
12	11	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
15	14	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵))))
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
17		nnre 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
18		lenlt 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
19	17, 1, 18	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
20	19	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21	20	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (2 · 𝐵))
23		2submod 13885	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
24	16, 21, 22, 23	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
25		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
27	26	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
28	24, 27	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))
29	28	expcom 413	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵))))
30	15, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by: (None)