MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsuppd 14036
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 2-Dec-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsuppd.d (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝐷)
mptnn0fsuppd.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsuppd (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑥,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppd
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.0 . 2 (𝜑0𝑉)
2 mptnn0fsupp.c . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
3 mptnn0fsuppd.s . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ))
4 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5 mptnn0fsuppd.d . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝐷)
64, 5csbie 3944 . . . . . . 7 𝑥 / 𝑘𝐶 = 𝐷
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐷 = 0𝐷 = 0 )
86, 7eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝐷 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
98imim2i 16 . . . . 5 ((𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
109ralimi 3081 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
1110reximi 3082 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
123, 11syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
131, 2, 12mptnn0fsupp 14035 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  csb 3908   class class class wbr 5148  cmpt 5231   finSupp cfsupp 9399   < clt 11293  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  evls1fpws  22389  decpmatfsupp  22791  decpmatmulsumfsupp  22795  pmatcollpw1lem1  22796  pm2mpmhmlem1  22840  cpmidpmatlem3  22894  evl1deg1  33581  evl1deg2  33582  evl1deg3  33583
  Copyright terms: Public domain W3C validator