Theorem mptnn0fsuppd 13965

Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 2-Dec-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppd.d	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
mptnn0fsuppd.s	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑥,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsupp.0	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
2		mptnn0fsupp.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		mptnn0fsuppd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ))
4		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		mptnn0fsuppd.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	csbie 3929	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐷
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = 0 → 𝐷 = 0 )
8	6, 7	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
9	8	imim2i 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
10	9	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
11	10	reximi 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13	1, 2, 12	mptnn0fsupp 13964	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⦋csb 3893   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   finSupp cfsupp 9363   < clt 11250  ℕ₀cn0 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487

This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  22278  decpmatmulsumfsupp  22282  pmatcollpw1lem1  22283  pm2mpmhmlem1  22327  cpmidpmatlem3  22381  evls1fpws  32691