MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsuppd 13662
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 2-Dec-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsuppd.d (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝐷)
mptnn0fsuppd.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsuppd (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑥,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppd
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.0 . 2 (𝜑0𝑉)
2 mptnn0fsupp.c . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
3 mptnn0fsuppd.s . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ))
4 vex 3431 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5 mptnn0fsuppd.d . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝐷)
64, 5csbie 3869 . . . . . . 7 𝑥 / 𝑘𝐶 = 𝐷
7 id 22 . . . . . . 7 (𝐷 = 0𝐷 = 0 )
86, 7eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝐷 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
98imim2i 16 . . . . 5 ((𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
109ralimi 3085 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
1110reximi 3173 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝐷 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
123, 11syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
131, 2, 12mptnn0fsupp 13661 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3062  wrex 3063  csb 3833   class class class wbr 5075  cmpt 5158   finSupp cfsupp 9074   < clt 10956  0cn0 12179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-fz 13185
This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  21862  decpmatmulsumfsupp  21866  pmatcollpw1lem1  21867  pm2mpmhmlem1  21911  cpmidpmatlem3  21965
  Copyright terms: Public domain W3C validator