Theorem mptnn0fsuppd 14145

Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 2-Dec-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsuppd.d	⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
mptnn0fsuppd.s	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsuppd	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑠)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑘, 𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsupp.0	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
2		mptnn0fsupp.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		mptnn0fsuppd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ))
4		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		mptnn0fsuppd.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	csbie 3881	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐷
7		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = 0 → 𝐷 = 0 )
8	6, 7	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
9	8	imim2i 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
10	9	ralimi 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
11	10	reximi 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → 𝐷 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
12	3, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13	1, 2, 12	mptnn0fsupp 14144	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ⦋csb 3846   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   finSupp cfsupp 9357   < clt 11347  ℕ₀cn0 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644

This theorem is used by:  evls1fpws  22693  decpmatfsupp  23093  decpmatmulsumfsupp  23097  pmatcollpw1lem1  23098  pm2mpmhmlem1  23142  cpmidpmatlem3  23196  evl1deg1  34155  evl1deg2  34156  evl1deg3  34157