Theorem pmatcollpw1lem1 22999

Description: Lemma 1 for pmatcollpw1 23001. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw1lem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw1lem1

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6893	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7448	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑛) = (𝑀 decompPMat 𝑥))
4	3	oveqd 7430	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) = (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽))
5		oveq1 7420	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑥 ↑ 𝑋))
6	4, 5	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
7		pmatcollpw1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		pmatcollpw1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
11		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
12		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	matecld 22648	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝐼𝑀𝐽)) = (coe1‘(𝐼𝑀𝐽))
15		pmatcollpw1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	14, 8, 15, 16	coe1ae0 22441	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18	13, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
19		simpl12 1268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
22		3simpc 1168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
24	15, 7, 9	decpmate 22991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
25	19, 20, 21, 23, 24	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
27		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
28	26, 27	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = (0g‘𝑅))
29	28	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
30		pmatcollpw1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
31		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32		pmatcollpw1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
33	15, 30, 31, 32, 8	ply1moncl 22497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
34	19, 21, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
35		pmatcollpw1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
36	15, 8, 35, 16	ply10s0 22482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
37	19, 34, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
39	29, 38	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
40	39	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
41	40	imim2d 58	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
42	41	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
43	42	reximdv 3177	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
44	18, 43	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
45	1, 2, 6, 44	mptnn0fsuppd 14062	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331   < clt 11267  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17301   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524  ._gcmg 19190  mulGrpcmgp 20273  Ringcrg 20372  var₁cv1 22401  Poly₁cpl1 22402  coe₁cco1 22403   Mat cmat 22629   decompPMat cdecpmat 22987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-mat 22630  df-decpmat 22988

This theorem is used by:  pmatcollpw1  23001