Theorem pmatcollpw1lem1 22267

Description: Lemma 1 for pmatcollpw1 22269. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw1lem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw1lem1

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6903	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7440	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑛) = (𝑀 decompPMat 𝑥))
4	3	oveqd 7422	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) = (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽))
5		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑥 ↑ 𝑋))
6	4, 5	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
7		pmatcollpw1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		pmatcollpw1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
11		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
12		simp13 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	matecld 21919	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝐼𝑀𝐽)) = (coe1‘(𝐼𝑀𝐽))
15		pmatcollpw1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	14, 8, 15, 16	coe1ae0 21731	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18	13, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
19		simpl12 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
22		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
24	15, 7, 9	decpmate 22259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
25	19, 20, 21, 23, 24	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
27		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
28	26, 27	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = (0g‘𝑅))
29	28	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
30		pmatcollpw1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
31		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32		pmatcollpw1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
33	15, 30, 31, 32, 8	ply1moncl 21784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
34	19, 21, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
35		pmatcollpw1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
36	15, 8, 35, 16	ply10s0 21769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
37	19, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
39	29, 38	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
40	39	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
41	40	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
42	41	ralimdva 3167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
43	42	reximdv 3170	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
44	18, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
45	1, 2, 6, 44	mptnn0fsuppd 13959	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357   < clt 11244  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692  coe₁cco1 21693   Mat cmat 21898   decompPMat cdecpmat 22255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mat 21899  df-decpmat 22256

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1  22269