Theorem pmatcollpw1lem1 22123

Description: Lemma 1 for pmatcollpw1 22125. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw1.m	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
pmatcollpw1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw1lem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   × ,𝑛   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw1lem1

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6857	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7392	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑛) = (𝑀 decompPMat 𝑥))
4	3	oveqd 7374	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) = (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽))
5		oveq1 7364	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑥 ↑ 𝑋))
6	4, 5	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
7		pmatcollpw1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		pmatcollpw1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
11		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
12		simp13 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	matecld 21775	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝐼𝑀𝐽)) = (coe1‘(𝐼𝑀𝐽))
15		pmatcollpw1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	14, 8, 15, 16	coe1ae0 21587	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑃) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18	13, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
19		simpl12 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
22		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
24	15, 7, 9	decpmate 22115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
25	19, 20, 21, 23, 24	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥))
27		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
28	26, 27	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) = (0g‘𝑅))
29	28	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)))
30		pmatcollpw1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32		pmatcollpw1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
33	15, 30, 31, 32, 8	ply1moncl 21642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
34	19, 21, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
35		pmatcollpw1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
36	15, 8, 35, 16	ply10s0 21627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
37	19, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
39	29, 38	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
40	39	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅) → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
41	40	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
42	41	ralimdva 3164	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
43	42	reximdv 3167	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐼𝑀𝐽))‘𝑥) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
44	18, 43	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑥)𝐽) × (𝑥 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
45	1, 2, 6, 44	mptnn0fsuppd 13903	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼(𝑀 decompPMat 𝑛)𝐽) × (𝑛 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   Mat cmat 21754   decompPMat cdecpmat 22111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mat 21755  df-decpmat 22112

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1  22125